Математическая задачка..

[Lia]

Спасибо, Юля!
Интересно.
Прямо вернулся в детство.

- и Вам спасибо, очень рада, что Вы тоже как и я, испытываете положительные эмоции от участия в процессе..)
я и сама, как будто заново в школу вернулась, и вместе с сыном давно забытые школьные эмоции переживаю.

Что меня поражает, так это доброжелательное отношение куратора.
Наверно это связано с тем, что дети ещё дети

- да и сама женщина очень приятная, внимательная к детям, нам с ней повезло..

Всё же пятый класс.

- время летит. )

В моё время не было таких олимпиад на таком уровне (5 класс) или я просто не помню.
А были при школах математические кружки, где решались задачки повышенной сложности.
А курировал это учитель математики, который где- то подыскивал подобные задачки, что, вообще- то говоря, было не просто, особенно на периферии.
Мой пятый класс- это 59- 60 годы.
Ещё Гагарин никуда не летал, да и денежной реформы 61 года ещё не было.

- да, это была совсем другая эпоха..
сложно все было, но, тем не менее, талантливые дети и тогда пробивались, а может даже чаще чем теперь?

[ilya481]

- да, это была совсем другая эпоха..
сложно все было, но, тем не менее, талантливые дети и тогда пробивались, а может даже чаще чем теперь?

Вот вы поставили знак вопроса в конце, что предусматривает и описание моего мнения на вопрос: а чаще или реже пробивались тогда талантливые дети в математике (возможно вы имели в виду не только математику, а талант в любой области знаний, но я, если что- то и знаю, то только о математике)?
А давайте порассуждаем, во- первых, что означает "пробивались"?
Это такое неоднозначный глагол, который может включать в себя множество факторов.
Но не буду утомлять вас своими измышлизмами и нудностью, скорее всего вы имели в виду, что ученик в конце концов попадает в престижный ВУЗ, куда и стремился, когда оканчивал обучение в средней школе.

Так и будем считать.
Ну тогда да, пробивались тогда, пробиваются и сейчас.
Чаще или реже?
Не знаю.
Правда не знаю.
Сюда ведь входит множество факторов.
Начиная с таких, как среднее появление талантливых детей на душу населения "тогда" и "сейчас".
Этого знания ни у кого нет, разве что предположение, основанное на оценке каких- то критериев.
Есть только у Бога.

Ну а дальше начинается...боюсь начинать перечислять отличия "той" действительности от этой.

Только основные, которые вижу сегодня.
Раньше было мало информации, мало сборников конкурсных задач по математике (да их вообще не было, а если где- то и были, то я их не видел), школьники были обособлены в своих школах и варились в собственном соку, где- то доставались неведомыми путями какие- то интересные задачи и передавались друг другу.
Хорошо, если учитель математики был фанатом и ещё педагогом, мне в этом отношении повезло.
Правда это было позже, уже в девятом классе.
Но я её помню и сегодня и облик её держу перед собой.
Ольга Ивановна Смиюха
Она доставала для меня какие- то задачи, один раз на кружке я делал доклад на основе материала книжки "числа и фигуры" Радемахера и Теплица (она есть в интернете).
А сам я покупал постоянно занимательные книжки Перельмана по математике и физике.
И не только их.
Всех сейчас и не упомню.
Были и импортных авторов, переводные.

Сегодня же всё не так.
Сегодня есть великое слово ИНТЕРНЕТ!
Всякие лекции, курсы, отличные педагоги, вещающие на своих сайтах.
Это совершенно другой мир!

[Lia]

А сам я покупал постоянно занимательные книжки Перельмана по математике и физике.
И не только их.
Всех сейчас и не упомню.
Были и импортных авторов, переводные.

Сегодня же всё не так.

- ну, почти..
я тоже покупаю книги Перельмана, только в цифровом формате.)

Сегодня есть великое слово ИНТЕРНЕТ!

- да, большая свалка всякой информации, среди которой нужно ещё суметь отыскать действительно ценную и полезную.

Всякие лекции, курсы, отличные педагоги, вещающие на своих сайтах.
Это совершенно другой мир!

- мир финансово успешных людей, умеющих "втирать" свои лекции, курсы, стримы, марафоны и т.д

[ilya481]

- да, большая свалка всякой информации, среди которой нужно ещё суметь отыскать действительно ценную и полезную.

Верно.
Так есть, где искать!
Есть выбор.
Да, Клондайк был источником обогащения некоторых отчаянных искателей.
И там надо было приложить усилия к поиску золотишка.
Вряд ли оно лежало крупными камнями на поверхности.

Но если бы не было Клондайка- никто бы там ничего не находил.
Что- то подобное и с интернетом, ютубом и другими поисковиками.
Знаешь, что искать, всегда найдёшь.
Причём то, что надо и даже больше того.
А пустую породу приходится перебирать, ничего не сделаешь.
И время на это приходится тратить.
В моё время и "породы" не было.
Сейчас я храню у себя в компе массу ссылок, книги, монографии, много чего.
И это всё "сгрёб" уже после 2000 года, с большим вожделением и с ощущением потерянного времени
Да время упущено, если процентов 10 успеваю прочесть и переработать, то хорошо.
Уже как- то и не надо.

У Ильи вашего есть время, есть "нужная" мама, много что есть.

- мир финансово успешных людей, умеющих "втирать" свои лекции, курсы, стримы, марафоны и т.д

И такие есть.
Не спорю.
Но есть же и другие!
Я их порой просматриваю, мне интересно.
И мне совершенно неважно, что там они получают.
Некоторых я с удовольствием просматриваю, слежу за логикой изложения, вижу их профессионализм и мне это доставляет удовольствие.

Т. е. если "втирают" правильные, нужные лекции и т. д., если предлагают развивающие методы решения, то почему нет?
Кстати есть и действующие преподаватели, много я их повидал.
Главное, чтобы не было шарлатанов.
Но в математике вряд ли это проскочит, это вам не плоская земля

[Lia]

У Ильи вашего есть время, есть "нужная" мама, много что есть.

- спасибо!

И такие есть.
Не спорю.
Но есть же и другие!
Я их порой просматриваю, мне интересно.
И мне совершенно неважно, что там они получают.
Некоторых я с удовольствием просматриваю, слежу за логикой изложения, вижу их профессионализм и мне это доставляет удовольствие.

- Вы из категории математиков- философов, а не просто сухих " исчислителей"..

(- эх, нам бы такого дедушку, говорю я сынуле, мы бы с тобой академиками стали!)

Т. е. если "втирают" правильные, нужные лекции и т. д., если предлагают развивающие методы решения, то почему нет?
Кстати есть и действующие преподаватели, много я их повидал.
Главное, чтобы не было шарлатанов.
Но в математике вряд ли это проскочит, это вам не плоская земля

- не знаю, Вам виднее..
но, я слышала, что в математической среде интриги кипят, и конкуренция не меньше чем в искусстве..

[ilya481]

- Вы из категории математиков- философов, а не просто сухих " исчислителей"..

Я бы поправил: из категории математиков- романтиков.

Я вижу гармонию формул, уравнений и в этом всегда находился.

У меня один из внуков от папы израильтянина, которому сейчас 6 лет и он пошёл в первый класс самозабвенно окунулся в мир цифр, арифметики.
Пока только сложение, умножение, вычитание, деление.
Ему это нравится и это главное.
Он единственный такой из всех моих детей, внуков.

но, я слышала, что в математической среде интриги кипят, и конкуренция не меньше чем в искусстве..

Конечно, правильно слышала!
Я не слышал, но могу утверждать, что так и есть.
Но я задам вопрос по другому: а где этого нет?
Люди- везде люди.
Но на мой взгляд нужно абстрагироваться от этих явлений.
Тут ведь надо прежде всего понять, что эти люди, которые, как вы пишете, интригуют, достигли каких- то серьёзных результатов в математике, прежде чем стать интриганами.
Вот это главное для вас!
И не дай- то Бог заразить вашего Илюшу этими сведениями.
Он должен заниматься образованием и только им, чистой математикой, которая достойна того, чтобы ею заниматься.
Если, конечно, есть такое стремление у ребёнка.
А это уже мама сама должна понять на каком- то этапе, что нужно её сыну.
Может быть он будет хорошим историком, может быть языковедом.
А может быть айтишником.
Сегодня сказать этого нельзя.

[Lia]

Я бы поправил: из категории математиков- романтиков.

Я вижу гармонию формул, уравнений и в этом всегда находился.

- и это именно то, за что Вы любите математику?..

У меня один из внуков от папы израильтянина, которому сейчас 6 лет и он пошёл в первый класс самозабвенно окунулся в мир цифр, арифметики.
Пока только сложение, умножение, вычитание, деление.
Ему это нравится и это главное.
Он единственный такой из всех моих детей, внуков.

- благословен Господь!
а помните, я недавно у Вас спрашивала, есть ли у Вас в семье ещё математики,
значит, все-таки один достойный преемник есть.

Конечно, правильно слышала!
Я не слышал, но могу утверждать, что так и есть.
Но я задам вопрос по другому: а где этого нет?
Люди- везде люди.

- да, а Истина - одна.

Может быть он будет хорошим историком, может языковедом.А может быть айтишником.
Сегодня сказать этого нельзя.

- а может быть сумеет совместить противоположное, как, например, Владимир Успенский. )
я не считаю что между гуманитариями и математиками непреодолимая пропасть, важно то, каков "мыслительный аппарат" человека, как он устроен от природы, и какие ему достанутся учителя.

[Lia]

- нашла нашу очередную задачку в кружке малый МЕХМАТ МГУ, для 7-го класса, однако!..

это задачка номер 6, про попугаев..

друзья, если есть какие-то нестандартные, интересные решения, поделитесь пожалуйста, в нашу с сынулей копилочку.

[IMG][/IMG]

[Lia]

- а вот эту задачу ребёнок не может чётко обосновать, но интуитивно догадался, что химиков и алхимиков поровну,
все-таки, это задачи не для пятого класса, однозначно!



В конференции участвовало 100 человек химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если считать Вас, то кого больше среди участников химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника и все ответили, что алхимиков больше, опрос
прервали. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков
среди участников?


Разработка задания: канд. пед. наук Ю. В. Михеев,
канд. физ.-мат. наук А. С. Марковичев

[Lia]

В моё время не было таких олимпиад на таком уровне (5 класс) или я просто не помню.

- Илья, а что Вы скажете по поводу вот этой задачи, это мы в данный момент с сыном домашнее задание по занимательной математике делаем,
мне не понятно, мы что, должны ее с помощью арифметической прогрессии решать в пятом классе??

На сколько сумма всех четных чисел первой сотни (т.е. 2+4+...+96+98+100) больше суммы всех нечетных чисел первой сотни

[ilya481]

друзья, если есть какие-то нестандартные, интересные решения, поделитесь пожалуйста, в нашу с сынулей копилочку.

Ну вот, попробую.
B не может быть правдистом, ибо он сказал о себе, что является хитрецом.
А это было бы неправдой.
Противоречие.

Значит для B остаётся две возможности: врун или хитрец.

Предположим B- хитрец.

Тогда A- не правдист; он ведь сказал, что B- лжец, а B (по допущению) - хитрец.
И если A не правдист и не хитрец (так как хитрец- B), то тогда для A остаётся только одна возможность: A-- лгун

Итак A-- лгун; B -- хитрец, тогда для C остаётся только одна возможность: C - правдист.
Но он не может быть правдистом, так как сказал, что B - честный, а мы знаем, что B - хитрец.

Итак предположение, что B - хитрец, завело нас в тупик.

Значит B - врун.

Тогда C говорит неправду (что B абсолютно честный попугай), а A - правду (что B - лжец).

Итак окончательно:
A - правдист
B - врун
C - хитрец.

[ilya481]

- Илья, а что Вы скажете по поводу вот этой задачи, это мы в данный момент с сыном домашнее задание по занимательной математике делаем,
мне не понятно, мы что, должны ее с помощью арифметической прогрессии решать в пятом классе??

Нет, не надо применять арифметическую прогрессию.
Это задача на сообразительность.

Сразу понятно, что нечетных чисел столько же, сколько чётных.
Тех и тех-- 50 штук.

Каждому нечётному числу можно поставить в соответствие чётное, стоящее рядом.
Т. е.
1; 3; 5;........99
2; 4; 6;........100

Чётные числа записаны под нечётными.
А теперь понятно, что каждое число, стоящее внизу на единицу больше соответствующего числа, стоящего вверху.

А это значит, что сумма всех чисел, стоящих внизу на 50 больше суммы всех чисел, стоящих вверху.
(потому что всего 50 пар чисел).

В задаче ведь не надо искать сумму всех чётных или нечётных чисел!
Надо ответить на другой вопрос.

[Lia]

Нет, не надо применять арифметическую прогрессию.
Это задача на сообразительность.

Сразу понятно, что нечетных чисел столько же, сколько чётных.
Тех и тех-- 50 штук.

Каждому нечётному числу можно поставить в соответствие чётное, стоящее рядом.
Т. е.
1; 3; 5;........99
2; 4; 6;........100

Чётные числа записаны под нечётными.
А теперь понятно, что каждое число, стоящее внизу на единицу больше соответствующего числа, стоящего вверху.

А это значит, что сумма всех чисел, стоящих внизу на 50 больше суммы всех чисел, стоящих вверху.
(потому что всего 50 пар чисел).

В задаче ведь не надо искать сумму всех чётных или нечётных чисел!
Надо ответить на другой вопрос.

- класс!..
это как задачка Гаусса, поняла, большое спасибо, Илья!

- - - Добавлено - - -

A - правдист
B - врун
C - хитрец.

- ну, с этой мой Илька сам справился..

[ilya481]

- а вот эту задачу ребёнок не может чётко обосновать, но интуитивно догадался, что химиков и алхимиков поровну,
все-таки, это задачи не для пятого класса, однозначно!



В конференции участвовало 100 человек химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если считать Вас, то кого больше среди участников химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника и все ответили, что алхимиков больше, опрос
прервали. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков
среди участников?


Разработка задания: канд. пед. наук Ю. В. Михеев,
канд. физ.-мат. наук А. С. Марковичев

Я тут немного подумал и понял, что ничего не понял по такому условию.
Если следовать точно по этому условию.

Давайте попробуем решить.
Задача логическая и попробуем начать со следующего рассуждения.

Может быть три возможных варианта.
1) алхимиков больше
2) химиков больше
3) никого не больше, равенство.

Рассмотрим их поочерёдно.
1) Если алхимиков больше, то среди 51 опрошенных участников непременно попадётся хоть один алхимик.
И он знает, что алхимиков больше, но тогда он непременно должен соврать, у него же природа такая.
Всё время врать.
И тогда он обязан сказать, что алхимиков не больше, чем химиков.
А он так не говорит, а говорит, что алхимиков больше.

Значит этот вариант не подходит, мы его отбрасываем.

2) Среди этих 51 опрошенных непременно попадётся хоть один химик.
И он знает, что химиков больше, чем алхимиков и должен это сказать, так как всегда говорит правду..
Но он говорит (по условию), что алхимиков больше.
Т. е. врёт.
А не должен.
Опять противоречие.

Остаётся только третий вариант.
Но если внимательно посмотреть, то и здесь непорядок.
Всех поровну, тогда, как и во втором варианте, среди опрошенных есть хоть один химик, но тогда он должен сказать правду, а именно, что всех поровну.
А он сказал, что алхимиков больше.
Опять пустышка!

Так в чём же дело?
Я думаю, что в условие закралась ошибка.
Это здесь:

«Если не считать Вас, то кого больше среди участников химиков или алхимиков?»
Т. е. в условии пропущена частица "не".

Тогда всё становится на свои места.
И задача совсем по другому решается.

Рассуждения для случаев 1) и 2) не меняются.
А вот случай 3) рассмотрим особо.

Предположим, опрошенный- это алхимик.
Тогда без него "в зале осталось" 50 химиков и 49 алхимиков.
Кого больше?
Конечно химиков!
Но врунишка алхимик скажет, что алхимиков больше.
Всё в соответствии с условием.

Теперь предположим, что опрошенный химик.
Тогда в зале (без него) осталось 49 химиков и полный набор (50) алхимиков.
Кого больше?
Конечно алхимиков!
Т. е. опрошенный химик говорит правду!.

Вот и всё.....

[ilya481]

А можно решить задачу проще.
Ну это, если сразу увидеть условие в правильном виде, без ошибок.

Привожу другое решение.
Пусть А- кол- во алхимиков, В- кол-во химиков.
Тогда А+В=100

Поскольку при исключения одного алхимика из подсчёта при их сравнении, химиков стало или больше или такое же число, что и алхимиков (а это видно из того, что алхимик всегда врёт и если он говорит, что алхимиков больше, то на самом деле это означает, что их одинаковое кол- во или химиков больше), а при исключении одного химика из подсчёта алхимиков больше, чем химиков (это утверждает химик и он не врёт), то переведём подсчёт в область алгебры.

Итак А+В=100;
А-1 < B ((А-1) меньше или равно В) и А> B-1, то, решая систему неравенств, мы придём к итоговому двойному неравенству: 49,5 < A < 50,5

А это означает, что А=50, поскольку А- целое число.

Я не знаю, проще ли это для вас
Это просто другое решение