Математическая задачка..

[Leopold 2465]

- я никогда не сдаюсь, я выжидаю момент.

мама водитель - дочка пассажир, это вполне обоснованный вариант..
давайте теперь вы свой.

Ну хорошо: София сидела на КОЛЕНЯХ у мамы.

[Lia]

Ну хорошо: София сидела на КОЛЕНЯХ у мамы.

- да, это тоже логично.

[Lia]

- советская арифметика..)

[Евлампия]

- да, это тоже логично.

И это тоже. )))

[Lia]

- друзья, любители и профи в математике, я снова обращаюсь к вам за помощью..
не успели мы справиться с одной олимпиадой, как " Вышка" выдала нам следующую,
не сочтите за труд, помогите с решением, буду всем очень признательна!



- на мой взгляд, довольно сложные задачи для пятого класса,
вот номер один:

Лиса и заяц бегают по кругу в одном направлении. Лиса бегает быстрее, и иногда обгоняет зайца. После того, как заяц сменил направление своего движения, он стал встречаться с лисой в 5 раз чаще, чем было до этого. Во сколько раз лиса бегает быстрее зайца?

[ilya481]

Пусть лиса бегает в k раз быстрее зайца.
k- действительное число.
В первом случае (до смены направления движения) относительно зайца лиса передвигается со скоростью v(k-1), где v- скорость зайца.

Во втором случае взаимная скорость зайца и лисы будет уже v(k+1), так как они движутся навстречу и их скорости складываются.

Поскольку во втором случае они встречаются в 5 раз чаще, чем в первом, то временной интервал между моментами их встречи в первом случае в 5 раз больше, чем во втором.
Это ведь происходит на одном и том же расстоянии, равном длине окружности.

Отсюда сразу выписываем соотношение: 5t(k-1)v= t(k+1)v, где t - промежуток времени между их соседней встречей во втором случае или после сокращения 5k-5= k+1
И ответ: k=3/2
Вот пожалуй и всё.

[Квинт]

... секундная стрелка (на часах) движется во 60 раз быстрей минутной one и за час "догонит" ея 60 раз ...
... предположим наши часы "взбесились" и минутная стрелка побежала по циферблату супротиву часовой one ...
... вопрос: сколь раз (за час) могут в этом случАе встретиться две стрелки?..
... ответ: все те же 60 раз ...

... если головы оторвать составителям ТАКИХ задач, то ...
... затоскуют тогда составители потому, что составлять задачи НЕ смогут ...

[Lia]

Пусть лиса бегает в k раз быстрее зайца.
k- действительное число.
В первом случае (до смены направления движения) относительно зайца лиса передвигается со скоростью v(k-1), где v- скорость зайца.

Во втором случае взаимная скорость зайца и лисы будет уже v(k+1), так как они движутся навстречу и их скорости складываются.

Поскольку во втором случае они встречаются в 5 раз чаще, чем в первом, то временной интервал между моментами их встречи в первом случае в 5 раз больше, чем во втором.
Это ведь происходит на одном и том же расстоянии, равном длине окружности.

Отсюда сразу выписываем соотношение: 5t(k-1)v= t(k+1)v, где t - промежуток времени между их соседней встречей во втором случае или после сокращения 5k-5= k+1
И ответ: k=3/2
Вот пожалуй и всё.

- и все?.. вот так все просто? )

Илья, большое Вам спасибо, Вы нам очень помогли!

[Leopold 2465]

- друзья, любители и профи в математике, я снова обращаюсь к вам за помощью..
не успели мы справиться с одной олимпиадой, как " Вышка" выдала нам следующую,
не сочтите за труд, помогите с решением, буду всем очень признательна!



- на мой взгляд, довольно сложные задачи для пятого класса,
вот номер один:

Лиса и заяц бегают по кругу в одном направлении. Лиса бегает быстрее, и иногда обгоняет зайца. После того, как заяц сменил направление своего движения, он стал встречаться с лисой в 5 раз чаще, чем было до этого. Во сколько раз лиса бегает быстрее зайца?

Если скорость зайца принять за Х, а скорость лисиця за У то в случае бега в разные стороны расстояние между ними увеличивается на Х+У.
А если они бегут в одну сторону, то расстояние между ними увеличивается на Х-У. По условию задачи одно от другого отличается в 5раз,а значит :
(Х-У) 5=Х+У от сюда
4Х=6У
Х/У=1,5

[Lia]

Если скорость зайца принять за Х, а скорость лисиця за У то в случае бега в разные стороны расстояние между ними увеличивается на Х+У.
А если они бегут в одну сторону, то расстояние между ними увеличивается на Х-У. По условию задачи одно от другого отличается в 5раз,а значит :
(Х-У) 5=Х+У от сюда
4Х=6У
Х/У=1,5

- большое спасибо, Сергей, Ваше объяснение ещё проще!
обязательно проработаем с сыном все решения..
меня в этой задаче смутило то, что лиса постояннно меняет свою скорость.

[Leopold 2465]

... секундная стрелка (на часах) движется во 60 раз быстрей минутной one и за час "догонит" ея 60 раз ...
... предположим наши часы "взбесились" и минутная стрелка побежала по циферблату супротиву часовой one ...
... вопрос: сколь раз (за час) могут в этом случАе встретиться две стрелки?..
... ответ: все те же 60 раз ...

... если головы оторвать составителям ТАКИХ задач, то ...
... затоскуют тогда составители потому, что составлять задачи НЕ смогут ...

Ответ, думаю, неверный.
В одну сторону расстояние между ними увеличивается на 60-1=59
В другую сторону 60+1=61
От сюда количество встреч в обратную сторону увеличится на 61/59=1.03 раза.
От сюда, если за 1 час секундная стрелка встретится с минутной 60 раз, то двигаясь в обратную сторону она встретится с нею 60х1.03=62 раза

[ilya481]

Если скорость зайца принять за Х, а скорость лисиця за У то в случае бега в разные стороны расстояние между ними увеличивается на Х+У.
А если они бегут в одну сторону, то расстояние между ними увеличивается на Х-У. По условию задачи одно от другого отличается в 5раз,а значит :
(Х-У) 5=Х+У от сюда
4Х=6У
Х/У=1,5

Я, вот тут, имею что сказать.
Понимаете, какая история.
Я не знаю требований Ольги, которая выслала задание или тех, кто непосредственно проверяет решение.
Но вот я бы такое решение забраковал
И в моё время в школе его бы забраковали.
Но это я и моё время..
А здесь просто поясню причину такого моего мнения.
У проверяющего должно сложиться чёткое убеждение, что ученик понимает задачу и при решении опирается на известные аксиомы, соотношения и точное условие.
Т. е. в этой задаче должна быть текстовая поясняющая часть и логические выводы, не оставляющие никакого сомнения у проверяющего о знаниях ученика.
Да, и здесь важны точные формулировки.

Вот смотрите, Серёжа, "в случае бега в разные стороны расстояние между ними увеличивается на X+Y"- это неточно и это ошибка.
Расстояние между ними увеличивается на (X+Y)*t, где t- время движения.
Или: расстояние между ними увеличивается на X+Y в единицу времени
Ну и для разности скоростей то же самое замечание.
И это важно для школьника и для проверяющего.
При этом, конечно, надо отметить, что t- это время или промежуток времени между .....
Т. е. отдельно это записать и не лениться.

И дальше: "по условию задачи одно от другого отличается в 5 раз"- это тоже неверно.
Что в 5 раз отличается?
Скорости!
Не расстояния, а скорости!
Это ведь школьная математика и тут важна точность и скрупулёзность.

Я подумал и над своим решением и понял, что и его надо немного "причесать", что ли.
Методологически, так сказать, с ориентацией на школу.

И вот я предлагаю вариант.
Может быть излишне подробный, но зато понятный для всех.

При взаимном перемещении двух тел, когда оба они движутся со своими скоростями (v1, v2), часто, в целях упрощения вычислений, вводят эквивалентную ситуацию, когда одно из тел покоится, а другое движется со скоростью v1+v2 или v1-v2.

В нашем случае нам интересно знать или фиксировать промежуток времени между ближайшими встречами зайца и лисы.
И в этом случае нам удобно перефразировать (упростить) задачу:

Заяц сидит в одной точке на окружности, а лиса бегает по ней, причём, в первом случае со скоростью (x-y), во втором- (x+y).

Но в любом случае она пробегает одно расстояние (от встречи до встречи) и это расстояние равно длине окружности!
Вот это важно понять сейчас.

Но а дальше всё просто.
Вспоминаем классическую формулу равномерного движения: s=v*t.
Т. е. для нашего случая s1=(X-Y)*t1; s2=(X+Y)*t2.


При этом учитываем, что для обоих случаев расстояние одно, время изменилось в 5 раз, вот и приравниваем s1=s2

s1=s2; t2=5*t1.
Ну и наконец:
(X-Y)*t1= (X+Y)*5*t1 X/Y=1,5

[Leopold 2465]

Я, вот тут, имею что сказать.
Понимаете, какая история.
Я не знаю требований Ольги, которая выслала задание или тех, кто непосредственно проверяет решение.
Но вот я бы такое решение забраковал
И в моё время в школе его бы забраковали.
Но это я и моё время..
А здесь просто поясню причину такого моего мнения.
У проверяющего должно сложиться чёткое убеждение, что ученик понимает задачу и при решении опирается на известные аксиомы, соотношения и точное условие.
Т. е. в этой задаче должна быть текстовая поясняющая часть и логические выводы, не оставляющие никакого сомнения у проверяющего о знаниях ученика.
Да, и здесь важны точные формулировки.

Вот смотрите, Серёжа, "в случае бега в разные стороны расстояние между ними увеличивается на X+Y"- это неточно и это ошибка.


Расстояние между ними увеличивается на (X+Y)*t, где t- время движения.
Или: расстояние между ними увеличивается на X+Y в единицу времени
Ну и для разности скоростей то же самое замечание.
И это важно для школьника и для проверяющего.
При этом, конечно, надо отметить, что t- это время или промежуток времени между .....
Т. е. отдельно это записать и не лениться.

Да за время я и не думал, если честно говоря... Нет, просто как-то само собою понималось, что время движения для них ОДИНАКОВОЕ, а разные скорости и расстояния.
А если одинаковое, то нет смысла о времени и писать, ведь все равно оно сократиться при вычислениях.
И я не знаю какие там сейчас требования в 5 классе, но, думаю, что Вы правы: о понимании времени , или единицы времени нужно написать, чтобы было понятно почему в формулах нет времени при моем объяснении.

И дальше: "по условию задачи одно от другого отличается в 5 раз"- это тоже неверно.
Что в 5 раз отличается?
Скорости!
Не расстояния, а скорости!
Это ведь школьная математика и тут важна точность и скрупулёзность.

В данном случае и скорость и расстояние, и количество встреч, поэтому и не оговаривал.
Ведь если скорость в пять раз больше, то и расстояние будет в пять раз больше, и встреч соответственно. А когда время равно единице, то скорость равна расстоянию. Другое дело, что в условии ничего не сказано ни о расстоянии, ни о скорости, и мне нужно было объяснить почему я все обобщил, поэтому замечание принимается.

Я подумал и над своим решением и понял, что и его надо немного "причесать", что ли.
Методологически, так сказать, с ориентацией на школу.

И вот я предлагаю вариант.
Может быть излишне подробный, но зато понятный для всех.

При взаимном перемещении двух тел, когда оба они движутся со своими скоростями (v1, v2), часто, в целях упрощения вычислений, вводят эквивалентную ситуацию, когда одно из тел покоится, а другое движется со скоростью v1+v2 или v1-v2.

В нашем случае нам интересно знать или фиксировать промежуток времени между ближайшими встречами зайца и лисы.
И в этом случае нам удобно перефразировать (упростить) задачу:

Заяц сидит в одной точке на окружности, а лиса бегает по ней, причём, в первом случае со скоростью (x-y), во втором- (x+y).

Но в любом случае она пробегает одно расстояние (от встречи до встречи) и это расстояние равно длине окружности!
Вот это важно понять сейчас.

Но а дальше всё просто.
Вспоминаем классическую формулу равномерного движения: s=v*t.
Т. е. для нашего случая s1=(X-Y)*t1; s2=(X+Y)*t2.


При этом учитываем, что для обоих случаев расстояние одно, время изменилось в 5 раз, вот и приравниваем s1=s2

s1=s2; t2=5*t1.
Ну и наконец:
(X-Y)*t1= (X+Y)*5*t1 X/Y=1,5

Да, думаю, что это проще и лучше, чем Ваш первый вариант.

[Lia]

- друзья, спасибо ещё раз за такие подробные объяснения, для нас это очень важно!

- - - Добавлено - - -

Я, вот тут, имею что сказать.
Понимаете, какая история.
Я не знаю требований Ольги, которая выслала задание или тех, кто непосредственно проверяет решение.

- проверяет непосредственно координатор НИУ ВШЭ

У проверяющего должно сложиться чёткое убеждение, что ученик понимает задачу и при решении опирается на известные аксиомы, соотношения и точное условие.
Т. е. в этой задаче должна быть текстовая поясняющая часть и логические выводы, не оставляющие никакого сомнения у проверяющего о знаниях ученика.
Да, и здесь важны точные формулировки.

-все верно, Илья!
и нам как раз за неточность формулировок снизили баллы по прошлой олимпиаде, хотя ответы все были в принципе правильные.

[Квинт]

... вы (оба-два) НЕ вынимательно читаете условие задачи ...
... в ней же говорится "Лиса бегает БЫСТРЕЕ (!)" ...
... а у вас (принявших скорость зайца за Х, а лисы - за У) в результате получилось, что Х/У=1.5 ...
... то бишь зайштятинок бежит БЫСТРЕЙ лисы и НЕ она будет обгонять всякий раз его, а НАОБОРОТ!..

... давайте попробуем еще раз: положим скорость зайца равную М (скорость звука), а скорость лисы в два раза больше (2М) ...
... вопрос: с какой скоростью должна НАЧАТЬ бежать лиса в тот самый миг, когда бедный зайштятинок резко повернул и побежал в противуположную сторону?..
... ответ: 10М (а это уже гиперзвук) ...

... и да, одно время гиперзвуковая ракета русских носила рабочее название ЛИСА ...