Математическая задачка..

[ЯОлег]

- математики на форуме есть?..
будьте добры, подскажите решение - готовимся с сыном к олимпиаде.

Поскольку у двух правых прямоугольников бо́льшие стороны равны, то для того, чтобы их периметр был одинаков, меньшие стороны их должны быть также равны, то есть, они должны быть одинаковы, что и видно из рисунка. Исходя из рисунка, если меньшие стороны двух одинаковых прямоугольников составляют одну сторону левого прямоугольника, равную 28, то 28:2=14. По условию задачи периметры всех трёх разрезанных прямоугольников равны. Выходит, если одна из сторон левого прямоугольника 28, а известная сторона равных прямоугольников 14, т.е. на 14 меньше, то для того, чтобы периметр их был одинаков, другая сторона равных прямоугольников должны быть, соответственно, на 14 больше второй, неизвестной стороны левого прямоугольника. Исходя из рисунка, общая длина неизвестной стороны левого прямоугольника и большей стороны одного из равных прямоугольников составляет 45. Примем неизвестную сторону левого прямоугольника за х. Как мы выяснили выше, чтобы периметры были одинаковы у всех прямоугольников, бо́льшая сторона равных прямоугольников должна быть на 14 больше, чем неизвестная сторона левого прямоугольника, т.е. х+14. Приравниваем это всё к общей их длине, равной 45 и получаем уравнение:
х+х+14=45
2х+14=45
2х=45-14=31
х=31:2=15,5
Таким образом, неизвестная сторона левого прямоугольника =15,5, значит, бо́льшая сторона равных прямоугольников х+14 = 15,5+14=29,5, или же, исходя из рисунка: 45-15,5=29,5
Теперь узнаём периметры полученных прямоугольников, а заодно и убеждаемся в их равности:
28+28+15,5+15,5=56+31=87;
14+14+29,5+29,5=28+59=87

Ответ: 87см

[ilya481]

X+28=45-x+14

Можно не высчитывать, как Илья, через периметр, а взять сумму двух сторон.

Можно, конечно.
Просто я старался не просто решить, а методологически показать ученику правильное решение, исходящее от условия задачи.
Там ведь на первом месте периметр.
Поэтому я его и использовал.

Потому и подробно всё объяснял (для ученика).

[Lia]

- спасибо, друзья, вы мне очень помогли!
скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?
ведь это задачка для 4 класса, значит, должно быть какое-то и более простое решение, путём простых логических рассуждений..
потому что все, что было предложено выше, они ещё не проходили по школьной программе!

- - - Добавлено - - -

Поскольку у двух правых прямоугольников бо́льшие стороны равны, то для того, чтобы их периметр был одинаков, меньшие стороны их должны быть также равны, то есть, они должны быть одинаковы, что и видно из рисунка. Исходя из рисунка, если меньшие стороны двух одинаковых прямоугольников составляют одну сторону левого прямоугольника, равную 28, то 28:2=14. По условию задачи периметры всех трёх разрезанных прямоугольников равны. Выходит, если одна из сторон левого прямоугольника 28, а известная сторона равных прямоугольников 14, т.е. на 14 меньше, то для того, чтобы периметр их был одинаков, другая сторона равных прямоугольников должны быть, соответственно, на 14 больше второй, неизвестной стороны левого прямоугольника. Исходя из рисунка, общая длина неизвестной стороны левого прямоугольника и большей стороны одного из равных прямоугольников составляет 45. Примем неизвестную сторону левого прямоугольника за х. Как мы выяснили выше, чтобы периметры были одинаковы у всех прямоугольников, бо́льшая сторона равных прямоугольников должна быть на 14 больше, чем неизвестная сторона левого прямоугольника, т.е. х+14. Приравниваем это всё к общей их длине, равной 45 и получаем уравнение:
х+х+14=45
2х+14=45
2х=45-14=31
х=31:2=15,5
Таким образом, неизвестная сторона левого прямоугольника =15,5, значит, бо́льшая сторона равных прямоугольников х+14 = 15,5+14=29,5, или же, исходя из рисунка: 45-15,5=29,5
Теперь узнаём периметры полученных прямоугольников, а заодно и убеждаемся в их равности:
28+28+15,5+15,5=56+31=87;
14+14+29,5+29,5=28+59=87

Ответ: 87см

- спасибо, Олег, за такой развёрнутый ответ!

- - - Добавлено - - -

Потому и подробно всё объяснял (для ученика).

- завтра будем с сынулей подробно разбирать все ответы..

благословите нас на удачу!

[Антропос]

скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?

Точно, и никаких алгебраических операций не нужно.
А вы говорите, "гуманитарии" )

p = 28 + 14 + 45 = 87
x = (87 - 28 - 28) / 2 = 15.5
y = (87 - 14 - 14) / 2 = 29.5

[ЯОлег]

- спасибо, друзья, вы мне очень помогли!
скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?
ведь это задачка для 4 класса, значит, должно быть какое-то и более простое решение, путём простых логических рассуждений..
потому что все, что было предложено выше, они ещё не проходили по школьной программе!

Можно и так. Тогда рассуждаем, опять же, исходя из того, что раз одна из сторон левого прямоугольника на 14 см. больше одной из сторон равных прямоугольников, то другая сторона равных прямоугольников обязательно должна быть на 14см больше неизвестной стороны левого прямоугольника, что́ необходимо для соблюдения равенства периметров.

Тогда суммируя 28+14+45, мы тем самым суммируем одну сторону левого прямоугольника - 28 с половиной второй такой же стороны этого же прямоугольника - 14 и 45. А 45 как раз и состоит из одной неизвестной стороны левого прямоугольника, а также неизвестной стороны одного из равных прямоугольников, которая, в свою очередь, как мы выяснили в виде обязательного условия в первом абзаце, как раз и есть неизвестная сторона левого прямоугольника, но на 14см больше. Таким образом, в 45см как раз и входят две неизвестные стороны левого прямоугольника, плюс 14см, которых нам как раз и недоставало, когда мы складывали одну сторону с половиной: 28+14.

Надеюсь, понятно объяснил.

[Lia]

А вы говорите, "гуманитарии" )

- гуманитарий, гуманитарий, потому что мне пришлось долго всматриваться в ваши решения, и идти за ходом ваших мыслей.)

- - - Добавлено - - -

Надеюсь, понятно объяснил.

- да, Олег, очень понятно, ещё раз благодарю!..

- - - Добавлено - - -

Точно, и никаких алгебраических операций не нужно.

- ну, просто, алгебра у них начнётся только со след. года.. а эта задачка уже сейчас включена в олимпиаду по математике для 4 кл.

[The]

- спасибо, друзья, вы мне очень помогли!
скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?

Так делать неправильно и тем более, если речь про олимпиаду. Нужно исходить из формулы периметра.


Я полагаю, они ее проходили, раз в задаче о нем спрашивают. Возможно неизвестные X и Y, немного внесли неясность.
Вот, можно еще так:

Формула периметра: P=2(a+b), где а - длина, b - ширина. P=2(a+b) будет формулой прямоугольника, который был разрезан. У него: а=45см, b=28см.

Сказано, что у всех трех прямоугольников, один и тот же периметр. То есть, P₁=P₂=P₃,

где
P₁ - периметр первого прямоугольника, P₁=2(a₁+b₁).
P₂ - периметр второго, P₂= 2(a₂+b₂)
P₃ - периметр третьего прямоугольника, P₃=2(a₃+b₃)

Если P₁=P₂=P₃, то 2(a₁+b₁)=2(a₂+b₂)=2(a₃+b₃). Или, если взять два из них, то 2(a₁+b₁)=2(a₃+b₃)

// здесь и далее используется рисунок из поста #4 //

b₃=b,
a₃=a-a₁


Тогда

2(a₁+b₁)=2(a₃+b₃),

2(a₁+b₁)=2((a-a₁)+b),

a₁+b₁=a-a₁+b,

2a₁=a+b-b₁,

a₁=(a+b-b₁)/2,


А так как а=45см, b=28см, b₁=14см, то:


a₁=(a+b-b₁)/2 = 29.5см


Значит P₁=2(a₁+b₁)=2(29.5см+14см)=87см. То есть, P₁=P₂=P₃=87см.

[Ольга Ко]

- математики на форуме есть?..
будьте добры, подскажите решение - готовимся с сыном к олимпиаде.

периметр равен 87

[Ольга Ко]

- математики на форуме есть?..
будьте добры, подскажите решение - готовимся с сыном к олимпиаде.

Мой способ решения:
Полупериметр одного четырёхугольника равен полупериметру второго.
Чтобы составить уравнение с двумя неизвестными обозначим отрезки стороны 45 буквами а и в
Получим уравнение: 28+а = в+14
После упрощения остаётся: 14а=в
Следовательно сторона 45=а + 14+а,
а=15,5
в=29,5
периметр одного прямоугольника 28+28+15,5+15,5=87
периметры двух других 14+14+29,5+29,5=87

[Сергей Божий]

- математики на форуме есть?..
будьте добры, подскажите решение - готовимся с сыном к олимпиаде.

Нужно перечертить деление примоугольника на 3 равные и одинаковые части.

!!! и получается (28+28)+ (45:3)*2=56+30=86

Ответ: 86 см

[Leopold 2465]

- спасибо, друзья, вы мне очень помогли!
скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?
ведь это задачка для 4 класса, значит, должно быть какое-то и более простое решение, путём простых логических рассуждений..
потому что все, что было предложено выше, они ещё не проходили по школьной программе!

Конечно можно, но это, на мой взгляд, для ребенка довольно сложные логические рассуждения, (т.е. объяснить почему так, сам ход рассуждений) которые и взрослым не всем под силу.

Предложу ещё один вариант решения задачи.

Легко заметить, что если попытаться найти общий периметр всех прямоугольников, то нам неизвестна только одна сторона : длина правых двух прямоугольников. Пусть это будет "а")

Тогда общий периметр равен: 28*2 + 45*2 + 28*2+ а*2= 202+2а

С другой стороны периметр одного правого прямоугольника равен: 14+14+а+а = 28+2а.
Поскольку все периметры равны, то от сюда сумма периметров всех фигур равна: (28+2а)*3= 84+6а

От сюда:
202+2а= 84+6а
118=4а
а=29,5
От сюда периметр одного: 29,5*2+28=87

[ilya481]

скажите, а можем ли мы просто сложить 28+45+14, учитывая половину периметра?
ведь это задачка для 4 класса, значит, должно быть какое-то и более простое решение, путём простых логических рассуждений..

Эта ваша догадка оправдана.

Только вот доказать её надо.
Олег доказал без применения алгебры (совсем), чего другие не сделали.

И там, другими словами, простое рассуждение.
Мы сравниваем два разных прямоугольника, у которых известно, что одна сторона одного на 14 единиц меньше одной из сторон другого прямоугольника.
А ещё известно, что сумма других сторон этих прямоугольников равна 45 единиц.

А дальше пошло рассуждение.
Если сторона одного прямоугольника на 14 меньше стороны другого прямоугольника, то для равенства периметров надо, чтобы на эти 14 единиц другая сторона этого прямоугольника была больше другой стороны другого прямоугольника.

Но ещё известно, что сумма этих "других сторон" равна 45

И теперь задача сводится к нахождению чисел, сумма которых известна и разность тоже известна.
И это уже чистая арифметика.
Отнимаем от суммы этих чисел (45) излишек (14) и получим удвоенное меньшее число.
Которое потом делим на два для нахождения меньшего числа.
45- 14= 31;
31/2= 15,5
Ну а дальше всё то же самое, что написал Олег, может быть, просто, другими словами.

[Lia]

Только вот доказать её надо.

- согласна!.. доказательство - это всегда главное, а недоказанность освобождает от ответственности.

[Сергей Божий]

Конечно можно, но это, на мой взгляд, для ребенка довольно сложные логические рассуждения, (т.е. объяснить почему так, сам ход рассуждений) которые и взрослым не всем под силу.

Предложу ещё один вариант решения задачи.

Легко заметить, что если попытаться найти общий периметр всех прямоугольников, то нам неизвестна только одна сторона : длина правых двух прямоугольников. Пусть это будет "а")

Тогда общий периметр равен: 28*2 + 45*2 + 28*2+ а*2= 202+2а

С другой стороны периметр одного правого прямоугольника равен: 14+14+а+а = 28+2а.
Поскольку все периметры равны, то от сюда сумма периметров всех фигур равна: (28+2а)*3= 84+6а

От сюда:
202+2а= 84+6а
118=4а
а=29,5
От сюда периметр одного: 29,5*2+28=87

У меня получилось 86.
Посчитайте общую площадь.

[Lia]

Конечно можно, но это, на мой взгляд, для ребенка довольно сложные логические рассуждения, (т.е. объяснить почему так, сам ход рассуждений) которые и взрослым не всем под силу.

- спасибо, Сергей!.. в этом-то и вся суть, объяснить ребёнку так, чтобы он понял, в соответствии со своим уровнем знаний.

- - - Добавлено - - -

У меня получилось 86.
Посчитайте общую площадь.

- нет, правильный ответ 87.