Загадка математическоей интуиции: божественное откровение, подсознания или что-то ещё

[протоавис]

Возвращаясь к вопросу об аксиоме выбора.
1. Она позволяет быстрее и легче доказать немалый круг теорем, где и без неё можно обойтись.
2. Она необходима для доказательства даже таких просты фактов, как
- всякое векторное пространство имеет базис
- эквивалентность определений эпсилон-дельта-определений непрерывности и определения через сходимость последовательностей.

Чисто по памяти она нужна также для ряда топологических теорем, лежащих вообще в основе топологии (при желании могу вспомнить).

[Bovlan]

О Вашем поразительном невнимании к тексту свидетельствует то, что в данном случае содержание моих слов свелось к уходу от конкретики. Вы отреагировали так, будто я написал с точностью до наоборот.

А по мне, так это я высказал мысль, что стоит больше абстрагироваться от конкретики. В противовес Вашему тезису.

Как насчёт того, чтобы читать повнимательнее?

Так кто у нас невнимателен?

Но, если бы Вы прочитали опять же повнимательней, то я писал про то, что в реальной жизни мы в большинстве случаев не сводим процесс анализа доказательства к алгоритмическому процессу, а множество ключевых деталей (и по-видимому далеко не все) прокручиваем в подсознании?

А с этим я просто не согласен. Доказательства ничего не прокручивают в подсознании. По крайней мере в математике. Просто доказательства некоторых утверждений не приводятся, поскольку они уже проделаны кем-то раньше. И просто дают ссылку. Доказательства приводят только если они новые и/или ценны сами по себе для данной работы.

Бедный академик Александров! Он-то не знал, что в математике нет интуитивных моделей (надеюсь понятно, что речь идёт не о тех моделях, что используются в мат логике). Чёткая определённость не противоречит интуитивным моделям.

Боюсь, что у Вас весьма своеобразное понятие интуиции. По крайней мере сочетания "матаматическая интуиция", "интуитивная модель" выглядят несколько странно.

А кто-то с этим спорит?

Это я к тому, что математике чужда подозрительность.

[Bovlan]

Удивительное количество ошибок в столь небольшом тексте.

И что же там такого ошибочного?

Вместо категоричных утверждений Вам всего-то нужно сделать самую малость - подтвердить свои слова конкретным примером - в каком именно определении действительного числа используется аксиома выбора

Вообще-то, во всех.

Вообще не стоит отвечать общими утверждениями, принуждая собеседника самому искать интерпретацию Вашим словам.

Я Вам сказал, что я с Вами во многом не согласен. И в данном ответе не стремлюсь к обоснованию своих утверждений. Я излагаю своё мнение по данным вопросам. Если Вы хотите что-то обсудить подробнее - поднимайте вопрос.

Если под парадоксами понимать просто утверждения, вызывющие удивления и противоречащими интуиции, то таких парадоксов - вагон и маленькая тележка.

Да, их море. Но все парадоксы - парадоксы "здравого смысла". Но математике чуждо это понятие.

Но и в данном конкретном случае Вы подменяете реализацию разрешения на отсутствие постановки проблемы вообще.

Извините, не понял.

Это уже что-то новое. Вы изучали теорию алгоритмов?

Да.

Вычислимая эффективность разных уточнений алгоритма - да, а утверждение, что любая интуитивно вычислимая функция является вычислимой с помощью конкретных уточнений - только практикой.

К сожалению, интуитивно вычислимых функций, но не вычислимых по теории алгоритмов пока не найдено. И это сильно затрудняет понимание ситуации. Если бы нашли такую, то была бы наука "Вычислимые функции", и теория алгоритмов поставляла бы ей математические модели. И мы практике проверяли бы адекватность моделей. Но поскольку таких функций нет, в данном месте трудно видеть границу между наукой "Вычислимые функции" и математической дисциплиной "Теория алгоритмов"

Отрицание мат. интуиции есть крайне маргинальная точка зрения.

Пожал плечами. Определите Ваше понятие мат. интуиции.

Цитата участника Bovlan:

Но к одному числу сходится много разных последовательностей(сечений). Какую будем считать данным конкретным числом.

Здесь никакой проблемы нет. В учебниках (да хоть Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" - кстати по словам самого автора - пример построения чисто интуитивного варианта теории множеств) или в инете - см. определение действительного числа по Дедекинду.

Разумеется, нет. Аксиома выбора её решает