Загадка математическоей интуиции: божественное откровение, подсознания или что-то ещё

[протоавис]

Pawlikowski, "The HahnBanach theorem implies the BanachTarski paradox" (1991)
вот, а что получим если вместо неё возьмём например аксиому детерминированности (Кановей)? все результаты, "нужные для жизни", останутся, но "в заоблачных высях" картина поменяется
нет, просто я подчеркнул, что говорил не столько о конструктивном анализе, сколько об анти-реализме.

За ссылку спасибо, вечером посмотрю.
Про то, что аксиома детерминированности - альтернатива аксиомы выбора - в курсе, но не не знаю, насколько она способна заменить аксиому выбора. Кажется у Барвайса в "Справочнике по мат. логике" описано. Посмотрю, потом отпишусь.
И всё-таки, Вы думаете, что от такого рода аксиом, как аксиома выбора можно отказаться и найти вполне достойную конструктивную замену?

[войд]

И всё-таки, Вы думаете, что от такого рода аксиом, как аксиома выбора можно отказаться и найти вполне достойную конструктивную замену?

зачем отказывться? если система согласуется с эмпирикой и удобна в работе, мы её используем. но в принципе, физика может обойтись даже без комплексных чисел. какая польза для жизни от Банаха-Тарски? разве что, накормить одним хлебом 5000 человек...

возвращаясь к теме. народ, разочарованный бесплодными философскими спорами, скатился к онтологическому релятивизму и даже пофигизму. на метафизику смотрят примерно так, как на вино на обеденном столе: это дело вкуса и то, без чего можно обойтись. Пенроуз верит в свой треугольник, а Tegmark верит в тождественность его вершин ([physics/0510188] On Math, Matter and Mind), Дойч верит в то, что математика богаче физики, а Standish в то, что физика -- это все возможные математические миры (Amazon.com: Theory of Nothing (9781921019630): Russell Standish: Books).

[Армагедонтыч]

...возвращаясь к теме. народ, разочарованный бесплодными философскими спорами, скатился к онтологическому релятивизму и даже пофигизму. на метафизику смотрят примерно так, как на вино на обеденном столе: это дело вкуса и то, без чего можно обойтись. Пенроуз верит в свой треугольник, а Tegmark верит в тождественность его вершин ([physics/0510188] On Math, Matter and Mind), Дойч верит в то, что математика богаче физики, а Standish в то, что физика -- это все возможные математические миры (Amazon.com: Theory of Nothing (9781921019630): Russell Standish: Books).

Насколько я понял, ключевым словом является вера.

[Bovlan]

Вся математика пошла из необходимости считать. Пока для бухгалтерии хватало правой и левой стороны сальдо, никаких парадоксов не возникало. А потом математики стали резвиться. С рациональными числами ещё ничего, держались в рамках реальности. А в определение вещественных уже вмешалась аксиома выбора. Что уж говорить про комплексные. Как и везде фантазия человека не знает границ. Потому, наверное, действительно математические миры богаче и красочнее реального мира. Но и столь же реальны, как миры авторов фэнтэзи. В 20-30х годах прошлого века попытались навести там порядок. Но получили такие громоздки конструкции, столь неподъёмные для практики, что вернулись к родной, классической логике. Ну и пусть парадоксы. В физике всё прекрасно. Парадоксы придумывают математики. Так что будем пользоваться классикой, а всякие там физики, химики, геодезисты, астрономы отделят зерно от плевел.

[протоавис]

А в определение вещественных уже вмешалась аксиома выбора.

Действительное число определяется через рациональные числа.
Никакая аксиома выбора при этом не используется. Так, при уточнении понятия действительного числа в 1870-х гг. Г.Кантор определял действительные числа как сходящиеся последовательности рациональных чисел, Р.Дедекинд - как "сечения" во множестве рациональных чисел.
Это - своего рода разные, но эквивалентные реконструкции интуиции действительного числа (см. пост ниже)

[протоавис]

Так что будем пользоваться классикой, а всякие там физики, химики, геодезисты, астрономы отделят зерно от плевел.

Вся математика по сути и сводится к классике - к арифметике. Существует требование выводить законы логики и все первичные понятия только опираясь на интуицию натурального чилса (но не интуицию множеств).

[протоавис]

Различие между божественной и математической интуицией.

1. «Человеческий мозг является настолько сложной системой связей и процессов, что нет никакой надежды, что "слабый свет сознания" будет держать под контролем все детали этого электрохимического фейерверка». (K.M.Podnieks 1992).
В основе интуиции лежат бессознательные процессы. Они неизбежно не являются внятно осознаваемыми. Если бессознательные процессы приводит к результатам, имеющим большое значение, то результат иногда распознается сознанием. Однако сам процесс, приведший к результату, при этом может остаться скрытым от сознания.
Обратимся к фактам. Когда математикам представляют доказательства теорем, существует нечто, вроде экспертизы. Математики могут различить, какие рассуждения являются доказательными, а какие нет. Отсюда возникает вопрос - почему существуют интуиции, одинаково управляющими рассуждениями стольких людей?

Так, не зная аксиом Евклида, школьники, тем не менее, нередко легко постигают доказательства теоремы Пифагора. Не зная аксиом арифметики, большинство людей, тем не менее, большинство доказательств теорем воспринимают адекватно.

В этом смысле математика возможно область с самой универсальной интуицией - это одно из главных моих тезисных утверждений.
Этим математическая интуиция отличается, например, от интуиции бога: одни люди воспринимают подсознательно факт проявления бога в мире, а другие нет.

2. Можно возразить против математической интуиции она тоже подводит. И тогда всё-таки теряется единство математиков и начинаются разногласия. Да, это так. Но этот процесс протекает по иному, нежели для божественной интуиции. А именно разногласия в математической интуиции являются потенциально разрешимыми.

Раскрою этот тезис.
Что происходит, когда нарушается общепринятость интуитивных моделей?
Интуиция это бессознательный процесс. Когда наши интуиции расходятся, то мы пытаемся сделать реконструкцию интуитивных размышлений. Мы задаём себе вопрос: «А прочему я так думаю?»
Подниекс К. М. в книге «Вокруг теоремы Гёделя» выдели два способа реконструкции интуиции:
С помощью генетического метода пытаются моделировать интуицию средствами другой теории (которая сама может также быть интуитивной). Таким образом, "подозрительная" интуиция моделируется на базе более надежной интуиции. Этим способом удалось преодолеть подозрительность к комплексным числам, вводя их геометрическую интерпретацию (каждое комплексное число представляется точкой на плоскости, т.е. средствами евклидовой геометрии). В результате даже такие необычные свойства этих чисел, как бесконечное множество значений lоg(x) для отрицательного x, превратились в простые теоремы геометрического или топологического характера. И споры по поводу всевозможных кажущихся парадоксов, связанных с комплексными числами, утратили почву. Там, где раньше могли ориентироваться только выдающиеся математики, теперь легко ориентируется любой школьник.
Нередко у реконструированных интуитивных понятий возникают неожиданные свойства. Например, при реконструкции понятия предела в терминах «эпсилон-дельта» в отличие от интуитивного понятия предела возникают неожиданно непрерывные функции, которые не могут быть нигде дифференцируемыми.
Итак, генетический метод "проясняет" одну интуицию средствами другой.
Осмелюсь предположить, что именно с помощью такого метода построен по видимому и богословие (да простят мне это смелое утверждение те, кто в отличие от меня в нём разбирается).
Второй метод аксиоматический. Возник он на основе того, что среди общепризнанных утверждений об объектах теории выделяются некоторые объявляемые аксиомами, т.е. "истинами", не требующими доказательства. После этого остальные утверждения теории уже требуется доказывать на основе аксиом.
В настоящее время аксиоматический метод требует некоторого уточнения.
Структура речи такова, что всегда мы отдельные элементы сводим к неделимым атомам, или атомарным элементам:
А) К исходным утверждениям аксиомам (принимаем без доказательств)
Б) К исходным неопределяемым понятиям (базовым понятиям)
В) К исходным логическим принципам, из которых выводим остальные (исходные правила вывода)
Г) К исходным алгоритмам (базовым алгоритмам)
Д) К исходным символам (буквам, которые далее не делятся)

Итак, выделил 5 типов объектов, в которых нельзя определить (доказать, вывести, построить, вычислить) все объекты, а лишь значительную часть их, приняв небольшую часть за исходные.

Аксиоматизация (так же как генетический метод) дает всего лишь реконструкцию интуитивных понятий. Проблема адекватности реконструкции здесь обычно сводится к вопросу: все ли существенные характеристики интуитивных понятий отражены в аксиомах или какая-то часть забыта? Более сложными являются случаи, когда аксиоматизация применяется не просто для реконструкции существующей интуитивной теории "один к одному", а для спасения последней, когда та запуталась в парадоксах.
Такое было, например, при построении теории множеств.

Итак, ставим проблему насколько реконструкция интуиции является адекватной?

Сформулируем два критерия.
Первый - соответствие практике. Отсутствие противоречий. В математическом мире этот критерий проверяется постоянным применением данных реконструкций.
Если все свойства действительных чисел, которые ранее считались очевидными и которые хотя бы раз фиксировались на бумаге, доказаны как теоремы (на основе нового, реконструированного понятия), если все теоремы математического анализа, доказанные ранее с использованием интуитивного понятия, доказаны заново на основе реконструированного понятия, то те стороны интуитивного понятия действительного числа, которые успели проявить себя в математической практике, в реконструкции отражены.
Что в случае богословия? Имеем ли мы такие же эффективные реконструкции? Ведь богословие нам указывает на «глас божий», который даёт нам истину непосредственно!
Видим ли мы в Библии адекватность, проверенную временем? Даёт ли нам Ветхий завет вечные мудрости? Смогли ли святые отцы «реконструировать» его адекватно?
Это тот камень преткновения, в котором расхождения между мыслителями настолько сильны, что в отличие от математики они не могут считаться решаемыми и универсальными.

Есть ещё второй критерий реконструкции интуиции это когда различные реконструкции дают один и тот же результат.
Хорошо известны разные подходы к определению действительного числа, дающие один и тот же результат.
Особенно ярким примером могут служить многочисленные и необычайно эффективные уточнения интуитивного понятия алгоритма, которые до настоящего времени рассматриваются как эквивалентные то есть их эквивалентность подтверждается практикой.
Эквивалентность различных реконструкций одного интуитивного понятия свидетельствует, что объем реконструированных понятий не является случайным. Это очень важный аргумент в пользу замены интуитивного понятия реконструкцией.

А в богословии я так и не слышал про различные подходы в реконструкции божественной интуиции, дающие эквивалентные результаты.Вместо этого взаимные бесконечные споры, неспособность прийти к согласию. Кругом святые отцы дают ЕДИНСТВЕННУЮ ИСТИНУ. Или может я ошибаюсь?

Итак, математическая интуиция универсальна, а божественная нет.
_________________
Реальный мир безгранично сложнее и интереснее любой выдумки.
Умей задавать природе вопросы и НЕ БОЙСЯ их задавать.
В объяснения не верят. Их понимают.]

[Bovlan]

Так, при уточнении понятия действительного числа в 1870-х гг. Г.Кантор определял действительные числа как сходящиеся последовательности рациональных чисел, Р.Дедекинд - как "сечения" во множестве рациональных чисел.

Но к одному числу сходится много разных последовательностей(сечений). Какую будем считать данным конкретным числом.

[Bovlan]

Вся математика по сути и сводится к классике - к арифметике. Существует требование выводить законы логики и все первичные понятия только опираясь на интуицию натурального чилса (но не интуицию множеств).

Да вот плохо сводится. Получается неудобоваримая математика, почти не реализуемая на практике. А чтобы продлить интуицию натурального числа на вещественные и пользуются аксиомой выбора.

[Bovlan]

Различие между божественной и математической интуицией.

К сожалению, должен признать, во многом я принципиально не согласен.

1. «Человеческий мозг является настолько сложной системой связей и процессов, что нет никакой надежды, что "слабый свет сознания" будет держать под контролем все детали этого электрохимического фейерверка». (K.M.Podnieks 1992).

Интересно, а это надо. Почему-то, я всё больше и больше думаю, что наука через чур сильно закапывается в детали. Нельзя общества свести к личности. Биологию к химии. Физику к теории элементарных частиц. За деревьями теряем лес.

Обратимся к фактам. Когда математикам представляют доказательства теорем, существует нечто, вроде экспертизы. Математики могут различить, какие рассуждения являются доказательными, а какие нет. Отсюда возникает вопрос - почему существуют интуиции, одинаково управляющими рассуждениями стольких людей?

Здесь нет места интуиции. Проверка доказательства вполне алгоритмический процесс. Интуиция - в поиске доказательства.

В этом смысле математика возможно область с самой универсальной интуицией - это одно из главных моих тезисных утверждений.

По мне так в математике, вообще, нет интуиции. Математикам - да без неё никуда.

Этим математическая интуиция отличается, например, от интуиции бога: одни люди воспринимают подсознательно факт проявления бога в мире, а другие нет.

А это - в огороде бузина.

Что происходит, когда нарушается общепринятость интуитивных моделей?

В математике не интуитивных моделей. В математике нет общепринятых моделей. В математике все модели чётко определены. В математике единственный критерий существования модели - нетривиальность.

Этим способом удалось преодолеть подозрительность к комплексным числам, вводя их геометрическую интерпретацию (каждое комплексное число представляется точкой на плоскости, т.е. средствами евклидовой геометрии).

Нереальность комплексных чисел безразлична математике. Интерпретация их, как точки на плоскости, просто один из способов их употребления.

В результате даже такие необычные свойства этих чисел, как бесконечное множество значений lоg(x) для отрицательного x, превратились в простые теоремы геометрического или топологического характера.

Вы думаете - это простые теоремы?

И споры по поводу всевозможных кажущихся парадоксов, связанных с комплексными числами, утратили почву.

В математике нет парадоксов. Парадоксы возникают при попытке осмыслить математические резулитата в нашей реальности.

Например, при реконструкции понятия предела в терминах «эпсилон-дельта» в отличие от интуитивного понятия предела возникают неожиданно непрерывные функции, которые не могут быть нигде дифференцируемыми.

А тут какие парадоксы. Непрерывная, нигде недифференцируемая функция - модель броуновского движения.

Структура речи такова, что всегда мы отдельные элементы сводим к неделимым атомам, или атомарным элементам:
А) К исходным утверждениям аксиомам (принимаем без доказательств)
Б) К исходным неопределяемым понятиям (базовым понятиям)
В) К исходным логическим принципам, из которых выводим остальные (исходные правила вывода)
Г) К исходным алгоритмам (базовым алгоритмам)
Д) К исходным символам (буквам, которые далее не делятся)

Г и Д уже лишние.

Итак, ставим проблему насколько реконструкция интуиции является адекватной?

Сформулируем два критерия.
Первый - соответствие практике. Отсутствие противоречий. В математическом мире этот критерий проверяется постоянным применением данных реконструкций.

В математике нет соответствия практике. Только непротиворечивость. Соответствием практике математических построений проверяют физики, врачи, экономисты. Но это - полезность, а не истинность.

Что в случае богословия? Имеем ли мы такие же эффективные реконструкции? Ведь богословие нам указывает на «глас божий», который даёт нам истину непосредственно!
Видим ли мы в Библии адекватность, проверенную временем? Даёт ли нам Ветхий завет вечные мудрости? Смогли ли святые отцы «реконструировать» его адекватно?
Это тот камень преткновения, в котором расхождения между мыслителями настолько сильны, что в отличие от математики они не могут считаться решаемыми и универсальными.

Богословие не отрицает проверяемость. Но в нём есть ещё один, более главный, критерий. Дядя сказал, точка, всё остальное - проблемы проверяемости.

Есть ещё второй критерий реконструкции интуиции это когда различные реконструкции дают один и тот же результат.
... то есть их эквивалентность подтверждается практикой.

Их эквивалентность доказывается строго математически.

Эквивалентность различных реконструкций одного интуитивного понятия свидетельствует, что объем реконструированных понятий не является случайным. Это очень важный аргумент в пользу замены интуитивного понятия реконструкцией.

Вот это правильно.

Итак, математическая интуиция универсальна, а божественная нет.

Они эквивалентны - своим несуществованием.

[протоавис]

Цитата: «Человеческий мозг является настолько сложной системой связей и процессов, что нет никакой надежды, что "слабый свет сознания" будет держать под контролем все детали этого электрохимического фейерверка». (K.M.Podnieks 1992).

Интересно, а это надо. Почему-то, я всё больше и больше думаю, что наука через чур сильно закапывается в детали. Нельзя общества свести к личности. Биологию к химии. Физику к теории элементарных частиц. За деревьями теряем лес.

О Вашем поразительном невнимании к тексту свидетельствует то, что в данном случае содержание моих слов свелось к уходу от конкретики. Вы отреагировали так, будто я написал с точностью до наоборот.
Как насчёт того, чтобы читать повнимательнее?

Цитата:
Обратимся к фактам. Когда математикам представляют доказательства теорем, существует нечто, вроде экспертизы. Математики могут различить, какие рассуждения являются доказательными, а какие нет. Отсюда возникает вопрос - почему существуют интуиции, одинаково управляющими рассуждениями стольких людей?

Здесь нет места интуиции. Проверка доказательства вполне алгоритмический процесс. Интуиция - в поиске доказательства.

Да, анализ доказательства может быть сведён к алгоритмическому процессу. Но, если бы Вы прочитали опять же повнимательней, то я писал про то, что в реальной жизни мы в большинстве случаев не сводим процесс анализа доказательства к алгоритмическому процессу, а множество ключевых деталей (и по-видимому далеко не все) прокручиваем в подсознании?
"Если хочешь быть скучным, говори всё" - Вольтер так высказывался о сверхдетализации, которой в реальной жизни не происходит.
Так что Ваше возражение - это лишь идеализация того, к чему принципиально можно свести доказательство, но чего на самом деле в большинстве случаев не происходит.

[протоавис]

Цитата:
Этим математическая интуиция отличается, например, от интуиции бога: одни люди воспринимают подсознательно факт проявления бога в мире, а другие нет.
А это - в огороде бузина.

У меня такое впечатление, что та небрежность, с которой Вы отвечате, вызвана Вашей невнимательностью. Набор категорических утверждений без обоснований - выстрел в воздух.

Цитата:
Что происходит, когда нарушается общепринятость интуитивных моделей?
В математике не интуитивных моделей. В математике нет общепринятых моделей. В математике все модели чётко определены. В математике единственный критерий существования модели - нетривиальность.

Бедный академик Александров! Он-то не знал, что в математике нет интуитивных моделей (надеюсь понятно, что речь идёт не о тех моделях, что используются в мат логике). Чёткая определённость не противоречит интуитивным моделям.

Цитата:
Этим способом удалось преодолеть подозрительность к комплексным числам, вводя их геометрическую интерпретацию (каждое комплексное число представляется точкой на плоскости, т.е. средствами евклидовой геометрии).
Нереальность комплексных чисел безразлична математике. Интерпретация их, как точки на плоскости, просто один из способов их употребления.

А кто-то с этим спорит?

[протоавис]

Да вот плохо сводится. Получается неудобоваримая математика, почти не реализуемая на практике. А чтобы продлить интуицию натурального числа на вещественные и пользуются аксиомой выбора.

Удивительное количество ошибок в столь небольшом тексте.
Вместо категоричных утверждений Вам всего-то нужно сделать самую малость - подтвердить свои слова конкретным примером - в каком именно определении действительного числа используется аксиома выбора - и всё, и сразу же написать статью про это выдающееся открытие.

Цитата:
И споры по поводу всевозможных кажущихся парадоксов, связанных с комплексными числами, утратили почву.

В математике нет парадоксов. Парадоксы возникают при попытке осмыслить математические резулитата в нашей реальности.

Вы хотите спуститься на уровень уточнений понятий парадоксов? Они интерпретируются по разному. Вообще не стоит отвечать общими утверждениями, принуждая собеседника самому искать интерпретацию Вашим словам.
Если под парадоксами понимать просто утверждения, вызывющие удивления и противоречащими интуиции, то таких парадоксов - вагон и маленькая тележка.
Если под ними понимать противоречия - то да в конкретных реализациях разрешения парадоксов они исчезают. Но и в данном конкретном случае Вы подменяете реализацию разрешения на отсутствие постановки проблемы вообще. Так что и при такой интерпретации Вашего утверждения не могу согласиться.

Цитата:
Структура речи такова, что всегда мы отдельные элементы сводим к неделимым атомам, или атомарным элементам:
А) К исходным утверждениям аксиомам (принимаем без доказательств)
Б) К исходным неопределяемым понятиям (базовым понятиям)
В) К исходным логическим принципам, из которых выводим остальные (исходные правила вывода)
Г) К исходным алгоритмам (базовым алгоритмам)
Д) К исходным символам (буквам, которые далее не делятся)

Г и Д уже лишние.

Это уже что-то новое. Вы изучали теорию алгоритмов?

Цитата:
Есть ещё второй критерий реконструкции интуиции это когда различные реконструкции дают один и тот же результат.
... то есть их эквивалентность подтверждается практикой.
Их эквивалентность доказывается строго математически.

Вычислимая эффективность разных уточнений алгоритма - да, а утверждение, что любая интуитивно вычислимая функция является вычислимой с помощью конкретных уточнений - только практикой.

[протоавис]

Они эквивалентны - своим несуществованием.

Отрицание мат. интуиции есть крайне маргинальная точка зрения. Если Вы действительно хотите опровергнуть факт её существования - то следует всё-таки обосновывать.

P.S. Не смотря на дискуссионный язык, я Вам на самом деле благодарен за комментарии. Хуже было бы, если бы кто-то начал флуд. Прошу искренне извинить, если где-то съехидничал. На самом деле - приятно было пообщаться.

[протоавис]

Но к одному числу сходится много разных последовательностей(сечений). Какую будем считать данным конкретным числом.

Здесь никакой проблемы нет. В учебниках (да хоть Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" - кстати по словам самого автора - пример построения чисто интуитивного варианта теории множеств) или в инете - см. определение действительного числа по Дедекинду.