Загадка математическоей интуиции: божественное откровение, подсознания или что-то ещё

[протоавис]

но не суть...

Не согласен. Похоже Вы ушли от объяснения.
Доказательство основано на аксиоме выбора - постулируется существование этого выбора, но не его способ нахождения. Неконструктивность основана на постулировании существования объекта с заданными свойствами, так что Ваши слова звучат странно.

но не суть...
кстати, Вы знакомы с критикой аргументов Лукаса-Пенроуза?

Да, что именно Вы имеете в виду?

[протоавис]

1) физический Унивёрсум. это бесусловно существующее
2) физический объект -- его можно назвать условно существующим, так как это конструкт (типа волны в океане) с условными границами
3) возможное ("существует вероятность того, что")
4) ментальный образ
5) идеальный объект
6) бог
в зависимости от философских вкусов эти категории могут объединяться или дробиться. но важно осознать, что это разные "существования".

Вы безусловно правы в существовании различных трактовок и использования этого понятия.
Тем не менее понятно было, что речь шла о неконструктивности объектов с заданными свойствами.

[протоавис]

Не знаю, как проще объяснить понятие "соизмеримость".
Два отрезка называются соизмеримыми, если найдутся такие натуральные числа N и M, что длина N первых отрезков равна длине M вторых. Надеюсь, понятно, что "число" здесь используется в чисто физическом понятии. Означает, сколько раз надо отложить отрезок на песке.
Если начать откладывать по одной прямой из одной точки стороны квадрата, и, параллельно, его диагонали, то никогда не случится такого, что конец стороны совпадет с концом диагонали.
Сие и есть иррациональность.

Что же Вы уходите от вопроса, вместо этого, зачем-то объясняя понятие иррациональности.
Если Вы утверждаете, что истина сопоставима с физическим экспериментом, что ж продемонстрируйте этот эксперимент, а не оъясняйте понятия "иррациональности".

[протоавис]

Нет объективных математических истин. Истинность математического утверждения зависит от того, какое в него вложено значение.

У математики есть одно сильное качество - определённость понятий. Поэтому выражение "зависит от того, какое в него вложено значение" не является аргументом. Это - не мир относительных истин. Если действительно хотите обосновать зависимость от сознания, то продемонстрируйте это примером.
Сразу скажу, я не из тех людей, кто спорит ради спора. Если кто-то выдвигает аргументы, то стараюсь или согласиться, или высказать, почему не согласен, и понять, а что меня может убедить.
В данном конкретном случае по моему мнению Вы подменили сознание неким загадочным "вложением истины" - подмена понятий.
Мало того, эта определённость - по-видимому главная черта математики на мой взгляд конечно.

[протоавис]

На рисунке - та да. Что за "отражение" Вы имеете в виду?

Часть математических истин проявляется в виде неких моделей в физическом мире.
Символический мир, кстати, - часть физического мира.
Среды Кантгоуту (см. Дойч "Структура реальности"_ - вариант истин, принципиально несопоставимых с физическим.
Потому и ЧАСТЬ.
То, что изложил - одновременно ответы и на оставшиеся Ваши два вопроса. При желании готов уточнить.
Спасибо за вопросы.

[войд]

Доказательство основано на аксиоме выбора - постулируется существование этого выбора, но не его способ нахождения.

нет, Банах-Тарски доказывается без полной аксиомы выбора, достаточно Хана-Банаха.

Неконструктивность основана на постулировании существования объекта с заданными свойствами, так что Ваши слова звучат странно.

а, у нас тут просто недопонимание. давайте я переформулирую: "одни считают, что мы открываем математические истины, другие, что изобретаем".

кстати, Вы знакомы с критикой аргументов Лукаса-Пенроуза?

Да, что именно Вы имеете в виду?

например, это:
[STAR] Penrose is wrong

[int003]

Что же Вы уходите от вопроса, вместо этого, зачем-то объясняя понятие иррациональности.
Если Вы утверждаете, что истина сопоставима с физическим экспериментом, что ж продемонстрируйте этот эксперимент, а не оъясняйте понятия "иррациональности".

Это был ответ на вопрос:

Объясните почему необоснованно?В контексте имелся в виду физический эксперимент.

Я Вам продемонстрировал (ну да, может быть не очень понятно описал) физический эксперимент. С физическим квадратом. Тем самым продемонстрировал ошибочность высказывания:

Возможно первая такая абстрактная истина без привязки к эксперименту - открытие иррациональности корня квадратного из двух.

Внимательнее.

Вернемся к Вашей картинке. Часть физического мира порождает ментальный. Часть ментального мира порождает математический. Но если и говорить, что часть математического мира порождает физический, то здесь совсем другое "порождение". Описывает, не порождает.

И еще раз попробую, учитывая чуть большее понимание мною Ваших мыслей.

Я недоумеваю, почему математический мир с такой поразительной точностью описывает физический мир (не только точность, не менее загадочны утончённая сложность и красота успешных теорий)?

Во-первых, часть математического мира, а не весь (согласитесь, что, например, поле GF(3) плохо описывает увеличение яблок в корзине). А во-вторых, только та часть, которая является в определенном роде отображением физического мира.
Остальная часть математического мира - может быть механически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, то есть как некое подобие шахматной игры. Которая дожидается открытия аналогии в физическом мире.

Не знаю, что такое среды Кантгоуту. Есть предположение, что по сути они являются логически возможными (непротиворечивыми) объектами. Но почему Вы их называете не сопоставимыми с физическими? И почему - истиной? Ну есть такие объекты. Каковы основания назвать их "истиной"?
Если нет возможности проверить, привязать эти объекты к физическому миру, то они есть просто набор правил манипуляций символами. Удовлетворяющих неким условиям, которые позволяют нам их называть "непротиворечивыми" и испытывать по их поводу определенные надежды (в смысле, по практическому использованию).

[войд]

... что такое среды Кантгоуту.

"Let me define a class of logically possible environments which I shall call Cantgotu environments, partly in honour of Cantor, Godel and Turing, and partly for a reason I shall explain shortly. They are defined as follows. For the first subjective minute, a Cantgotu environment behaves differently from Environment 1 (generated by Program 1 of our generator). It does not matter how it does behave, so long as it is, to the user, recognizably different from Environment 1. During the second minute it behaves differently from Environment 2 (though it is now allowed to resemble Environment 1 again). During the third minute, it behaves differently from Environment 3, and so on. Any environment that satisfied these rules I shall call a Cantgotu environment."

Есть предположение, что по сути они являются логически возможными (непротиворечивыми) объектами. Но почему Вы их называете не сопоставимыми с физическими?

ну, Дойч _верит_ в то, что физику можно полностью смоделировать (любой физический процесс можно полностью смоделировать на квантовой машине Тюринга). good luck with that.

PS/ движок форума не даёт написать Гёделя правильно

[протоавис]

нет, Банах-Тарски доказывается без полной аксиомы выбора, достаточно Хана-Банаха.

А можно ссылочку? Возможно Вы правы в данном конкретном случае - что теорему можно доказать без использования аксиомы выбора. До сих пор я был знаком с доказательством как раз с использованием этой теоремы. Popular Lectures on Mathematics: Books
Здесь аксиома выбора используется при построении множества Витали.
Но сути это не меняет - аксиома выбора всё равно оказывается незаменимой в ряде доказательств - в частности эквивалентного ей принципа трансфинитной индукции. Ряда теорем анализа, топологии и прочих разделов.

[протоавис]

"одни считают, что мы открываем математические истины, другие, что изобретаем".

А Вы хитрец! . Всё-таки "конструируем" звучало конкретнее и понятнее. И моё возражение остаётся в силе.

[протоавис]

например, это:
[STAR] Penrose is wrong

Вообще я был в курсе этой дискуссии, хотя конкретно эту статью поленился прочитать, но теперь прочитал. И к чему же всё-таки Вы ведёте разговор? Мне интересно.

[протоавис]

Я Вам продемонстрировал (ну да, может быть не очень понятно описал) физический эксперимент. С физическим квадратом.

Приятно общаться с людьми, дающими внятный и конкретный ответ.
Перед тем, как Вам захотел возразить, задумался. А может правы критики Пенроуза - нет никаго математического единства в ощущении самоочевидных вещей? Это шутка.
Итак, докажу, что Ваше утверждение о возможности физической проверки ОШИБОЧНО.
Доказательство немудрёное.
Будете ли Вы отрицать такой очевидный факт, что физические линейки всегда чуть-чуть врут? Всегда есть погрешность измерения (не важно, каким способом). Возможно Вы сможете меня опровергнуть, готов выслушать.
Погрешность приведёт к тому, что в реальном физическом эксперименте, Вы рано или поздно найдете, что соотношения длин равно отношению целых количеств эталонов длины. Что и требовалось доказать.
Да, кстати, а можете ли Вы физическим экспериментом доказать, что мощность натурального ряда меньше мощности множества действительных чисел?

[протоавис]

Вернемся к Вашей картинке. Часть физического мира порождает ментальный. Часть ментального мира порождает математический. Но если и говорить, что часть математического мира порождает физический, то здесь совсем другое "порождение". Описывает, не порождает.

Насчёт слова "порождает" с Вами соглашусь.
Я вроде как и сам его не употреблял. Мне более симпатично "моделирует".

[int003]

Итак, докажу, что Ваше утверждение о возможности физической проверки ОШИБОЧНО.
Доказательство немудрёное.
Будете ли Вы отрицать такой очевидный факт, что физические линейки всегда чуть-чуть врут? Всегда есть погрешность измерения (не важно, каким способом). Возможно Вы сможете меня опровергнуть, готов выслушать.
Погрешность приведёт к тому, что в реальном физическом эксперименте, Вы рано или поздно найдете, что соотношения длин равно отношению целых количеств эталонов длины. Что и требовалось доказать.

И тут же (ну, или подождав, пока техника это позволит) проведу еще один физический эксперимент с увеличенной точностью (необходимое значение которой я определю по полученному в первом эксперименте отношению), который покажет, что при таком соотношении совпадения нет.
"Что и требовалось доказать"?

Насчёт слова "порождает" с Вами соглашусь.
Я вроде как и сам его не употреблял. Мне более симпатично "моделирует".

Это я к тому, что рисунок не до конца симметричный.

Да, кстати, а можете ли Вы физическим экспериментом доказать, что мощность натурального ряда меньше мощности множества действительных чисел?

Надо подумать. Навскидку придумать физическую счетность без привязки ко времени не удалось. Что физически сие может означать - могу показать, но вот доказать...

[войд]

А можно ссылочку?

Pawlikowski, "The HahnBanach theorem implies the BanachTarski paradox" (1991)

аксиома выбора всё равно оказывается незаменимой в ряде доказательств - в частности эквивалентного ей принципа трансфинитной индукции. Ряда теорем анализа, топологии и прочих разделов.

вот, а что получим если вместо неё возьмём например аксиому детерминированности (Кановей)? все результаты, "нужные для жизни", останутся, но "в заоблачных высях" картина поменяется

А Вы хитрец! . Всё-таки "конструируем" звучало конкретнее и понятнее.

нет, просто я подчеркнул, что говорил не столько о конструктивном анализе, сколько об анти-реализме.