Вспомним школу. Что вы до сих пор не понимаете из изученного когда-то в школе?

[orlenko]

Вы понимаете разницу между "не находиться в одной комнате" и "находиться в разных комнатах"?

[orlenko]

Давайте, чтобы было легко говорить об этом, разделим плоскость на синюю и красную части. Наши точки А и Б находятся как раз между частями.

Теперь мы спрашиваем себя: пересекает ли отрезок АБ линию разделения между красным и синим? Смотрим в одно из свойств полуплоскости: "Две точки лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда когда отрезок между ними не пересекается с этой прямой." Когда говорится "тогда и только тогда" - речь идет о тождественности. Значит, "не пересекаяется" эквивалентно "по одну сторону".

Смотрим теперь на А и Б. Они находятся по одну сторону? Другими словами, если А - на красном, можно Б тоже найти на красном? Можно. Значит, они формально удовлетворяют "одной стороне", и отрезок не пересекает прямую.

Вам кажется, что есть противоречие, потому что вы строгое определение заменили "своими словами" - чем-то похожим, но не тем.

[METRO]

Вы понимаете разницу между "не находиться в одной комнате" и "находиться в разных комнатах"?

Если вы тот самый дока, то сильно не бейте окей?

Еще раз скажу совершенно честно-не понимаю. Ну это как "Столица нашей Родины" и "Москва". Смысл разный. Значение одно и тоже.
Конечно "не находиться в одной комнате" и "находиться в разных комнатах" разные по смыслу утверждения. Но значение то одно и тоже.

Можно, конечно, еще сказать что "не находиться в одной комнате" означает также "находиться в другой комнате". Но применительно к полуплоскостям я все же приравниваю ваше утверждение:

Чтобы отрезок пересекал прямую, его точки не должны находиться в одной полуплоскости

к утверждению данному в учебнике Погорелова:

Если концы отрезка находятся в разных полуплоскостях, то такой отрезок пересекает прямую

[METRO]

orlenko

Давайте, чтобы было легко говорить об этом, разделим плоскость на синюю и красную части.

Давайте. Но только не станем забывать главное наше предположение-прямая принадлежит обеим полуплоскостям.

Наши точки А и Б находятся как раз между частями.

Хорошо. Визуально пусть так.

Смотрим теперь на А и Б. Они находятся по одну сторону? Другими словами, если А - на красном, можно Б тоже найти на красном? Можно. Значит, они формально удовлетворяют "одной стороне", и отрезок не пересекает прямую.

Верно.
Но ничто не ограничивает и рассмотрение А-на красном а Б-на синем. Ибо мы до всего расмотрения сделали предположение о том, что наша прямая принадлежит обеим полуплоскостям.

Следовательно если возможна и ситуация А-на красном а Б-на синем, то отрезок пересекает прямую.
Вот и противоречие-отрезок АБ одновременно и не пересекает (ваше расмотрение) и пересекает (мое рассмотрение) одну и туже прямую.

[orlenko]

Но ничто не ограничивает и рассмотрение А-на красном а Б-на синем. Ибо мы до всего расмотрения сделали предположение о том, что наша прямая принадлежит обеим полуплоскостям.

Следовательно если возможна и ситуация А-на красном а Б-на синем, то отрезок пересекает прямую.

Вот это и есть ваше неправильное определение. Что, по вашему, нужно, чтобы отрезок пересекал прямую, исходя из вышеприведенного свойства?

[METRO]

orlenko

Что, по вашему, нужно, чтобы отрезок пересекал прямую, исходя из вышеприведенного свойства?

Нужно чтобы концы отрезка находились в разных полуплоскостях.

Лучше я с вашей помощью продемонстрирую свое видение картинкой:



Точки лежат на прямой. Прямая принадлежит и красной полуплоскости и синей. А ЗНАЧИТ (!) И точки этой прямой принадлежат и красной полуплоскости и синей. Каждая! Точка А лежит и на красной части и на синей. И точка Б лежит и на красной части и на синей.

И вот здесь и рождается противоречие-вы рассматриваете точки в одной полуплоскости и делаете вывод о том что отрезок не пересекает прямую. Я рассматриваю точки в разных полуплоскоястях и делаю вывод о том что отрезок пересекает прямую.
Вот и противоречие.

Ваше и мое утверждения, хоть оба и имеют право выводиться из предположения о принадлжености прямой обеим полуплоскостям, однако одновременно не могут быть правдивыми, потому что следующий вывод из них обоих получается такой-отрезок АБ и пересекает и не пересекает одну и туже прямую. А этого не может быть. Отрезок либо пересекает либо не пересекает одну и туже прямую.

[orlenko]

Нужно чтобы концы отрезка находились в разных полуплоскостях.

Неправильно. Нужно, чтобы они не находились по одну сторону от прямой. Это не то же самое (хотя кажется одинаковым на первый взгляд - что и ввело вас в заблуждение).

Все остальные рассуждения должны строиться исходя из правильного определения.

[strannik-mf]

orlenko



Нужно чтобы концы отрезка находились в разных полуплоскостях.

Лучше я с вашей помощью продемонстрирую свое видение картинкой:



Точки лежат на прямой. Прямая принадлежит и красной полуплоскости и синей. А ЗНАЧИТ (!) И точки этой прямой принадлежат и красной полуплоскости и синей. Каждая! Точка А лежит и на красной части и на синей. И точка Б лежит и на красной части и на синей.

И вот здесь и рождается противоречие-вы рассматриваете точки в одной полуплоскости и делаете вывод о том что отрезок не пересекает прямую. Я рассматриваю точки в разных полуплоскоястях и делаю вывод о том что отрезок пересекает прямую.
Вот и противоречие.

Ваше и мое утверждения, хоть оба и имеют право выводиться из предположения о принадлжености прямой обеим полуплоскостям, однако одновременно не могут быть правдивыми, потому что следующий вывод из них обоих получается такой-отрезок АБ и пересекает и не пересекает одну и туже прямую. А этого не может быть. Отрезок либо пересекает либо не пересекает одну и туже прямую.

А может отрезок просто совпадает с прямой?

[METRO]

Неправильно. Нужно, чтобы они не находились по одну сторону от прямой. Это не то же самое (хотя кажется одинаковым на первый взгляд - что и ввело вас в заблуждение).

Давайте разбирать по словам:

не находились по одну сторону от прямой

1. Не находились. Где могут находиться точки на плоскости относительно прямой? Согласно аксиоме 1 "Основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости", какова бы ни была прямая, существуют точки принадлежащие данной прямой и точки не принадлежащие данной прямой. Либо точка принадлежит прямой либо не принадлежит. Третьего не дано.

2. По одну сторону. Какие стороны относительно прямой на плоскости имеются ввиду? Очевидно под сторонами понимаются полуплоскости, на которые прямая делит плоскость в которой она лежит. Так как согласно аксиоме 4, прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Значит сторон мы имеем от одной прямой тоже только две. По одну-значит в какой-то одной из двух полуплоскостей.

Таким образом ваше утверждение:

Нужно, чтобы они не находились по одну сторону от прямой.

Есть совершенно тоже самое утверждение по сути что и:

Нужно, чтобы они находились по разные стороны от прямой.

[orlenko]

Таким образом ваше утверждение:


Нужно, чтобы они не находились по одну сторону от прямой.




Есть совершенно тоже самое утверждение по сути что и:





Нужно, чтобы они находились по разные стороны от прямой.

Нет, в строгом смысле это не одно и то же. Отсюда весь ваш кажущийся парадокс.

[METRO]

Нет, в строгом смысле это не одно и то же. Отсюда весь ваш кажущийся парадокс.

Сдаюсь. Объясните в чем состоит суть каждого из утверждений, которые вы считаете не равными.

-

[METRO]

orlenko

Вам кажется, что есть противоречие, потому что вы строгое определение заменили "своими словами" - чем-то похожим, но не тем.

Так "строгое определение" я как раз процитировал из учебника Погорелова.
Отрезок пересекает прямую только когда его концы принадлежат разным полуплоскостям.

Может у нас разные учебники. Кто автор вашего источника?

[METRO]

strannik-mf

А может отрезок просто совпадает с прямой?

Надо вернуться к вашему предположению, но выбрать более геометричесое. Вместо "прямая распологается нигде", выберем "прямая не принадлежит ни одной из двух полуплоскостей." Таким образом мы поменяли базовое утверждение из которого у нас выходили противоречия и теперь посмотрим что будет с новым базисом.

Итак, прямая не принадлежит ни одной из полуплоскостей. А значит и точки отрзека принадлежащие этой прямой также не будут принадлежать (как и прямая) ни одной из полуплоскостей. А следовательно эти точки (концы отрезка) ни находятся по одну сторону от прямой, ни по разные стороны. А значит отрезок не пересекают и не непересекают прямую. Иными словами-совпадает с прямой.
Да. Наверное так можно сделать. Вот еще бы подкрепление получить от компетентных участников.
Но это мы рассмотрели совпадение отрезка.

Теперь вернемся к изначальной ситуации-когда один из концов отрезка лежит в одной из полуплоскостей, а другой принадлежит прямой.
Что теперь? Тоже самое. Так как один из концов не принадлежит ни одной из полуплоскостей, отрезок и не пересекает и не не пересекат прямую. Он действительно опущен на прямую.

Боюсь поспешить но имхо вы оказались совершенно правы.

Прямая не принадлежит ни одной из двух полуплоскостей, на которые делится содержащая эту прямую плоскость.

[orlenko]

Сдаюсь. Объясните в чем состоит суть каждого из утверждений, которые вы считаете не равными.

-

Мне кажется, вы и сами уже разъяснили, откуда берется "парадокс". Если принять, что прямая, разделяющая плоскость, находится в каждой из полуплоскостей, то точки на этой прямой принадлежат обеим полуплоскостям. Это приводит к неоднозначности - точка на прямой находится и в той, и в другой половинке. Из этой неоднозначности терминологии можно выбраться двумя способами: обьявить прямую "вне полуплоскостей", как вы предложили, или избегать формулировок, которые позволяют "сыграть на неоднозначности". "Отрезок, чьи точки находятся в одной полуплоскости, не пересекает прямую" - однозначная формулировка. Если руководствоваться ею, нет никакого парадокса. Берем любые две точки, хоть на прямой, хоть не на ней, смотрим, можно ли их найти на одной и той же половинке - если да, то пересечения нет.

Второе определение, которое вы считаете эквивалентным, страдает от неоднозначности точек на прямой.

[METRO]

orlenko, дело здесь не в однозначности, а в исходных посылках, которые рождают противоречие. Если исходной останется предположение о том, что прямая лежит в обеих полуплоскостях, то "однозначная формулировка" нисколько не поможет избавиться от противоречия. Концы отрезка так и будут и в одной и в разных полуплоскостях. Что касается "смотрим, можно ли их найти на одной и той же половинке - если да, то пересечения нет." в геометри совершено не применимо если вы действительно под "смотрим" понимаете просто визуальное рассмотрение. В геометрии чертеж лишь опора, а доказывает все цепочка строгих рассуждений. Поэтому не может быть никаких "смотрим можем ли мы их найти". Должно быть-рассуждаем, выводим из аксиом и теорем такое-то свойство геометрической фигуры. Рисунок может вообще отсутствовать.