Вспомним школу. Что вы до сих пор не понимаете из изученного когда-то в школе?

[orlenko]

И тут возникает вопрос к математикам: как вычисляет логарифмы калькулятор? Ведь в него не заложены таблицы логарифмов (так же как не заложены в память калькулятора таблицы синусов и косинусов).

Любую функцию можно приблизительно заменить рядом степеней. Вот такой аппроксимацией машина и вычисляет все функции - это сводит все операции к сложению и умножению.

[METRO]

Только у меня предложение - артемиду сюда не пускать, а то она как винда - заполнит собою всё...

.

Неужели так много непонятого из школьного курса? Ну и пусть. Пусть выходит. Начнем понемногу расчищать завалы непонимания.

[sergey31]

Чтобы понять, что такое логарифм, нужно сначала очень ясно понимать, что такое возведение в степень. Например, куб числа 10, или квадрат восьми, или четвертая степень двадцати одного - эти понятия не вызывают у вас трудности?

Нет, здесь трудности нет!

- - - Добавлено - - -

В чем тут сложность понимания? Математики любят присваивать одному и том же разные названия. Например. 2^3 = 8 (два в третьей степени равно восьми). Тройка в данном примере имеет два названия. Первое - это показатель степени. Второе название - это логарифм. О показатели степени говорят тогда, когда этот показатель (3) нам известен. О логарифме говорят тогда, когда показатель степени неизвестен - Х. В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? В степень 3. 3 - это логарифм числа 8 по основанию 2. 2 ^х = 8; х = log 2 (8). Другой вопрос - зачем это нужно. А нужно это было для упрощения вычислений, когда ещё не было калькуляторов. Открываем учебник и смотрим, как упрощаются вычисления с помощью таблиц логарифмов (заранее составленных).

Можно свести все к простейшим арифметическим операциям Можно сформулировать вопрос так: сколько раз нужно разделить 8 на 2, чтобы получить 1? Три раза. Сколько раз нужно разделить 32 на 2, чтобы получить 1? Пять раз. "Три раза", "Пять раз" - это логарифм.

Сложнее обстоит дело с дробными показателями степени. Например, 3 в степени 2,464973521... будет 15. Соответственно, логарифм 15 (по основанию 3) будет равен 2,464973521. То есть число 15 нужно разделить на три 2,464973521 раза... чтобы получить 1. Но мы привыкли, что "разы" бывают в основном целыми числами. И тут возникает вопрос к математикам: как вычисляет логарифмы калькулятор? Ведь в него не заложены таблицы логарифмов (так же как не заложены в память калькулятора таблицы синусов и косинусов).

Если это правильно, тогда понятно.
(наконец-то!, спустя 20 лет)

[sergey31]

Здорово вы разрулили логарифм.
А у меня вот тоже вспомнилось несколько вопросов. Я даже не поленился еще раз заглянуть в учебники. Вопрос из предмета "Геометрия". Там значит дается такая аксиома расположения точек относительно прямой на плоскости:

"Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости". И еще говорится о свойстве такого разбиения: "Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезо не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую".

Собственно вопросы в связи с этими аксиомами:

1.Если один конец отрезка принадлежит прямой, а другой конец этого же отрезка принадлежит любой из двух полуплоскостей, то пересекает ли такой отрезок прямую или нет?

2. Сама прямая которая разбивает плоскость на две полуплоскости где находится? Между двумя плоскостями? Или ее нужно считать принадлежащей обеим плоскосятм?

Как видите с визуализацией проблем совершенно нет. Я мог бы выложить самые разные цветные рисунки, демонстрирующие аксиомы и данные вопросов. А решению это не помогает. Но это уже другой вопрос.

Итак.

1.В каком состоянии находится отрезок с концами на прямой и в одной из полуплоскостей? Пересекает прямую или нет?
2.Где находится прямая относительно двух полуплоскостей, на которые она разбила плоскость?

Ну это мне понятно!

Дело в том, что точка и прямая в математике понятия абстрактные, и не имеют площади или "ширины".
Т.е. прямая, разделяющая плоскость не принадлежит ни одной из полуплоскостей и не лежит "между" ними - она "нигде".
Это как если разрезать лист бумаги пополам ножницами и сложить вместе.

Если одна из точек, которым ограничен отрезком принадлежит прямой, то отрезок не пересекает прямую, а опускается на неё.

Как-то так.

[Марго]

Вот бы кто этим соискателям предложил доучиться

[METRO]

sergey31

Ну это мне понятно!

Дай Бог если это действительно так. Значит и я пойму.

Т.е. прямая, разделяющая плоскость не принадлежит ни одной из полуплоскостей и не лежит "между" ними - она "нигде".

Хорошо. Но как это "нигде" сформулировать в терминах геометрии? Ведь задачи решаются на основе аксиом, теорем и свойств вытекающих из них. Из какого же свойства вытекает такое свойство прямой как "быть нигде"?

Лично я, например, вижу, что прямая лежит в совершенно определенной плоскости. В условиях задачи иногда прямо так и говорится: "Дана прямая а, которая лежит в плоскости альфа". Тоесть совершенно определенное указание на ее расположение по отношению к данной плоскости.

1.Итак прямая лежит в плоскости альфа.
2.Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Где же по отношению к полуплоскостям находится наша прямая?

Если одна из точек, которым ограничен отрезком принадлежит прямой, то отрезок не пересекает прямую, а опускается на неё.

Здесь тоже самое. Если мы формулируем какое-либо свойство какой-либо геометрической фигуры, мы обязательно должны соотносить это свойство с остальными аксиоматическими или уже доказанными.

1.Итак из утверждения "Если одна из точек, которым ограничен отрезком принадлежит прямой" вы делаете вывод: "отрезок не пересекает прямую".

Но если отрезок не пересекает прямую, тогда согласно свойству, по которому прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, концы такого отрезка должны принадлежать одной из полуплоскостей. В учебнике Погорелова так и сказано:

Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.

Один конец отрезка действительно принадлежит одной из полуплоскостей. Это дано. Но чтобы сказать что второй конец лежит в этой же полуплоскости, нужно утверждение о том что прямая принадлежит данной полуплоскости. Тоесть мы возвращаемся к вопросу о расположении прямой относительно полуплоскостей. А значит сделать вывод о том что отрезок не пересекает прямую мы пока не можем.

2.Затем вы формулируете свойство "а опускается на неё". Но из аксиомы "Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости" следует только два свойства:

"Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую"

Как я сказал выше, если отрезок не пересекает прямую, мы должны доказать что второй конец отрезка расположен в той же полуплоскости что и первый. А для этого нужно решить вопрос с принадлежностью или не принадлежностью прямой к полуплоскостям.

Если же отрезок пересекает прямую, нужно доказать что второй конец лежит в полуплоскости отличной от той где нахоидтся первый. Но опять же это решение упирается в понимание того где именно- в какой полуплоскости (а может в обеих) лежит прямая.

[sergey31]

Хорошо, пусть тогда прямая принадлежит обоим полуплоскостям (это не вопрос моей веры, я не математик )
Тогда сходится?

[METRO]

Хорошо, пусть тогда прямая принадлежит обоим полуплоскостям (это не вопрос моей веры, я не математик )Тогда сходится?

Не волнуйтесь. Я сам профан. Просто раньше пытался решить эти вопросы вот и наработки готовые есть.
Если обеим полуплоскостям-надо подумать.

1. Да. Тогда бы мы могли сказать что, раз второй конец отрезка лежит в той же полуплоскости что и первый, то такой отрезок (который как вы сказали "опускается на прямую". (В том что отрезок можно опустить я не спорю. Соответственно вашу формулировку "отрезок опускается на прямую" не оспариваю. Перпендикуляр к прямой именно "опускают" Просто это нужно соотнести с аксиомой о разбиении прямой плоскости.) действительно не пересекает прямую.

Но! Ув Сергей, из того что прямая принадлежит обеим полуплоскостям также следует и то, что второй конец отрезка лежит также и в полуплоскости отличной от первого конца, а значит получается что отрезок пересекает прямую.

Дело как видно стало еще хуже. Наш отрезок с нашим новым предположением о прямой и пересекает и не пересекает прямую.
Уф. Лично я сдаюсь. Буду ждать спеца в этой науке.

[orlenko]

Вы все правильно сообразили.

Прямая находится в обеих полуплоскостях.

Точка, лежащая на прямой, находится в обеих полуплоскостях.

Но отрезок при этом не пересекает прямую. Для того, чтобы отрезок пересекал прямую, его точки должны находиться в разных полуплоскостях.

[METRO]

orlenko

Но отрезок при этом не пересекает прямую. Для того, чтобы отрезок пересекал прямую, его точки должны находиться в разных полуплоскостях.

Так по нашему предположению о принадлежности прямой обеим полуплоскостям, прямым следствием будет, что второй конец отрезка (принадлежащий данной прямой) будет также как и прямая принадлежать обеим полуплоскостям. Тоесть его концы могут (исходя из предположения о принадлежности прямой обеим полуплоскосятм) также находиться и в разных частях плоскости. А уже отсюда следует что отрезок не только не пересекает но и пересекает прямую. Но ведь мы приходим таким образом к противоречию. Отрезок должен либо пересекать либо не пересекать прямую.

[orlenko]

Но ведь мы приходим таким образом к противоречию

Противорие кажущееся, из-за нечеткой терминологии (я сделал ошибку в формулировке). Чтобы отрезок пересекал прямую, его точки не должны находиться в одной полуплоскости. Если разместить точки отрезка на прямой, то обе его точки находятся в обеих полуплоскостях - т.е. какую полуплоскость ни возьми, оба конца отрезка находятся в ней.

[METRO]

orlenko

Если разместить точки отрезка на прямой, то обе его точки находятся в обеих полуплоскостях - т.е. какую полуплоскость ни возьми, оба конца отрезка находятся в ней.

Согласен.
Но какую плоскость ни возьми (альфа или бетта):



из вашего предположения также следует, что разные концы концы отрезка [AB] находятся в ней.
Тоесть от противоречивой двойственности и в этом случае задача не избавляется.

p.s.Я специально расположил точки А и В не на прямой а одновременно в разных частях плоскости чтобы продемонстрировать ваше предположение.

[orlenko]

из вашего предположения также следует, что разные концы концы отрезка [AB] находятся в ней.
Тоесть от противоречивой двойственности и в этом случае задача не избавляется.

Ну и что, что следует? Противоречия нет. Смотрите внимательно на мою исправленную формулировку: Чтобы отрезок пересекал прямую, его точки не должны находиться в одной полуплоскости.

В вашем случае они находятся в одной полуплоскости? Находятся. Значит, не пересекает.

[METRO]

orlenko

Чтобы отрезок пересекал прямую, его точки не должны находиться в одной полуплоскости.

Верно. Но я не пойму в чем именно состоит помощь от исправленной формулировки. Ведь значение этой формулировки осталось прежним, а именно-оно тождественно по значению выше цитированному свойству: Если концы отрезка находятся в разных полуплоскостях, то такой отрезок пересекает прямую.

Чтобы отрезок пересекал прямую, его точки не должны находиться в одной полуплоскости

=

Если концы отрезка находятся в разных полуплоскостях, то такой отрезок пересекает прямую

Тоесть картинка у этих двух утверждений одна и таже-отрезок пересекает прямую.

В вашем случае они находятся в одной полуплоскости?

Если прямая лежит и там и там, то и конец отрезка (лежащий на прямой) и там и там. Вы не можете сказать однозначно-только в одной полуплоскости, так как заведомо предположили принадлежность прямой обеим. Они (концы отрезка или один из концов) как следствие находятся и в одной полуплоскости и в разных. Вот и противоречие.

- - - Добавлено - - -

orlenko

Извините в посте с рисунком я неправильно сформулировал.

Вы рассмотрели до этого момент когда:

Если разместить точки отрезка на прямой, то обе его точки находятся в обеих полуплоскостях - т.е. какую полуплоскость ни возьми, оба конца отрезка находятся в ней.

Какую плоскость ни возьми. Я же хотел сказать что если взять обе полуплоскости, то окажется что в них лежат разные точки.
Посмотрите на полуплоскости альфа и бетта. В них оказываются точки А и В. Тоесть ситуация помимо той ситуации что описали вы. В этом и противоречие-в одновременности двух разных ситуаций.

[METRO]

Теперь я понимаю почему живучи и так ожесточенны форумные баталии. Мы с вами тут школьный курс Планиметрии на полном серьезе проясняем. А что говорить о высших материях? Господи! Спаси и сохрани. Мне почему-то стало страшно. Простите....