Загадка математическоей интуиции: божественное откровение, подсознания или что-то ещё

[протоавис]

Есть такой известный феномен - математическая интуиция. Платон интуицию объясняет существованием объективного мира идей, в котором мы способны путешествовать и извлекать из него истины.
Кто-то объяснить подсказкой всевышнего разума.
Меня самого удивляет, как могу ПОНЯТЬ математические истины (не формально доказать, а именно ПОНЯТЬ, ощутить).
Что Вы об этом думаете?
Не удержусь. Вкратце перескажу идею Р.Пенроуза, изложенную в книге "Путь к реальности. Или законы, управляющие вселенной".
Вообще Пенроуз - мастер ставить умные вопросы природе. И вот он поставил один вопрос, из которого выросла красивая симметричная картина.
Пернроуз рассказывает о трёх мирах. Не могу ради справедливости не упомянуть, но очень сходную картину рисовал Ю.В.Кулаков (автор теории физических структур - и идеи у него очень сходные).
Что это за миры.
1. Физический мир. Мало кто будет сомневаться, что он судетсвует.
2. Но ведь есть и мир наших мыслей - ментальный мир.
Как они связаны. Возможно, что ментальный мир каким-то непонятным образом определяется КАКОЙ-ТО НЕБОЛЬШОЙ ЧАСТЬЮ физического мира (есть же физические носители мысли, не так ли?).
3. Наш ментальный мир порождает чудесный безграничный мир математики. Существуют явные математические истины, которые нельзя проверить физическим экспериментом. Возможно первая такая абстрактная истина без привязки к эксперименту - открытие иррациональности корня квадратного из двух.
Открыли множество Мандельброта.
"Когда Бенуа Мандельброт обнаружил невероятную сложность тонкой структуры полученного множества, никто и сам он в том числе - не имел реального представления о том, какие богатства это множество в себе содержит. Множество Мандельброта совершенно определённо не является изобретением человеческого разума. Оно просто объективно существует в самой математике" *
*К слову сказать, этот выдающийся математик умер в прошлом месяце этого года.

А как математический мир связан с физическим? Очевидно, что ЛИШЬ НЕБОЛЬШАЯ ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МИРА имеет отношение к физическому.
Итак, КРУГ ЗАМКНУЛСЯ. Возникла СИММЕТРИЧНАЯ КАРТИНА. (см. рис. внизу).
Я недоумеваю, почему математический мир с такой поразительной точностью описывает физический мир (не только точность, не менее загадочны утончённая сложность и красота успешных теорий)?

Почему физический мир определяет нашу ментальность? О тайне возникновения ментальности (разума) только ленивый не говорит.

Почему мы способны открывать математический мир ("не ясно, каким хитроумным способом человек оценивает истинность математического мира суждений". Должно быть что-то такое, что позволяет даже самому никудышнему математику оценивать интуитивно схватывать действительный смысл математических понятий)?

[int003]

Меня самого удивляет, как могу ПОНЯТЬ математические истины (не формально доказать, а именно ПОНЯТЬ, ощутить).
Что Вы об этом думаете?

Через физические аналогии. "Понять математическую истину" - значит понять, что она означает. Вы же на палочках учились считать? Ну, или на яблоках?..

Я недоумеваю, почему математический мир с такой поразительной точностью описывает физический мир (не только точность, не менее загадочны утончённая сложность и красота успешных теорий)?

Потому что он в некотором смысле есть его отражение.

Возможно первая такая абстрактная истина без привязки к эксперименту - открытие иррациональности корня квадратного из двух.

Вы необоснованно называете несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной "истиной без привязки к эксперименту".

Существуют явные математические истины, которые нельзя проверить физическим экспериментом.

Было бы интересно узнать, что это за истины.

[протоавис]

Вы необоснованно называете несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной "истиной без привязки к эксперименту".
Было бы интересно узнать, что это за истины.

Объясните почему необоснованно?
В контексте имелся в виду физический эксперимент.
Пример истины без привязки к физическому эксперименту - нельзя сторону диагональ квадрата со стороной 1 выразить как отношение натуральных чисел.

[протоавис]

Потому что он в некотором смысле есть его отражение.

Кто бы спорил. Но уловили ли Вы контекст удивления? Попробуйте применить этот аппарат для описания субъективных ощущений, скажем, ощущения зелёного цвета. Представленная на рисунке триада отнюдь на банальна. Можно было бы нарисовать альтернативные триады - например, повернуть вращение триады (обратите стрелочки-прожектора в обратную сторону). В этом случае частью математического мира описывался бы ментальный мир, но трудно представить, чтобы кто-нибудь согласился с таким описанием.
Так что рассматривать эту триаду как банальную не приходится.

[протоавис]

Через физические аналогии. "Понять математическую истину" - значит понять, что она означает. Вы же на палочках учились считать? Ну, или на яблоках?..

Удивителен факт - существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определенных абстрактных объектов. Другими словами, физикой мы моделируем поведение сложнейших абстрактных объектов, НАХОДЯЩИХСЯ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ФИЗИКИ. Вот он парадокс.

[int003]

Объясните почему необоснованно?
В контексте имелся в виду физический эксперимент.
Пример истины без привязки к физическому эксперименту - нельзя сторону диагональ квадрата со стороной 1 выразить как отношение натуральных чисел.

Не знаю, как проще объяснить понятие "соизмеримость".
Два отрезка называются соизмеримыми, если найдутся такие натуральные числа N и M, что длина N первых отрезков равна длине M вторых. Надеюсь, понятно, что "число" здесь используется в чисто физическом понятии. Означает, сколько раз надо отложить отрезок на песке.
Если начать откладывать по одной прямой из одной точки стороны квадрата, и, параллельно, его диагонали, то никогда не случится такого, что конец стороны совпадет с концом диагонали.
Сие и есть иррациональность.

[int003]

Кто бы спорил. Но уловили ли Вы контекст удивления? Попробуйте применить этот аппарат для описания субъективных ощущений, скажем, ощущения зелёного цвета.

Для описания субъективных ощущений необходимо описать субъект ощущений и объект ощущений. И никто не обещает, что это будет просто.
Не пойму только, как это соотносится с тем, что "математический мир" есть отражение "физического".

[int003]

Удивителен факт - существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определенных абстрактных объектов. Другими словами, физикой мы моделируем поведение сложнейших абстрактных объектов, НАХОДЯЩИХСЯ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ФИЗИКИ. Вот он парадокс.

А можно сказать и так: мы открыли некий абстрактный объект. После этого мы конкретизируем (можно также сказать, что "ищем") физический объект, отражением которого он является.

[войд]

А можно сказать и так: мы открыли некий абстрактный объект. После этого мы конкретизируем (можно также сказать, что "ищем") физический объект, отражением которого он является.

а, тут есть 2 школы: одни говорят, что мы открываем математические объекты, другие -- конструируем. соответственно, в физике есть реалисты и анти-реалисты. до недавнего времени этими вопросами загонялись только философы. "популяризировал" эту фишку Хокинг в своей знаменитой дираковской лекции 2002 года. это тихая революция -- релятивизм, распространённый на онтологию. сколько "на самом деле" измерений у пространства-времени? после открытия дуальности Малдасины стало ясно, что этот вопрос не имеет смысла -- любая физическая теория это только модель.

[протоавис]

А можно сказать и так: мы открыли некий абстрактный объект. После этого мы конкретизируем (можно также сказать, что "ищем") физический объект, отражением которого он является.

Фишка в том, что мир математических истин:
1. Объективен, то есть независим от нашего сознания
2. Физический мир отражает лишь малую часть всего математического мира (см. рис),
Подчёркиваю, что этот рисунок нетривиален -
1. каждый отдельный мир отражает следующий лишь небольшой своей частью;
2. прожектора-стрелочки нельзя обратить, например, вряд ли ментальный мир отражает физический.

[протоавис]

а, тут есть 2 школы: одни говорят, что мы открываем математические объекты, другие -- конструируем.

Когда множество Мандельброта открыли, то никто не мог предсавить его необычайной сложности - обнаружение этих истин похоже на открытие.
Кроме того известно немало теорем существования, где объект не конструируется.
Пример - теорема Банаха-Тарского:
Мы можем любой шар разбить на такое конечное число частей, что переместив эти части в пространстве, получи два шара, равных исходному.
Парадокс, не правда ли? Но дело в том, что эта теорема доказывает существование такого разбиения, а не способ его конструирования.

[протоавис]

Через физические аналогии. "Понять математическую истину" - значит понять, что она означает. Вы же на палочках учились считать? Ну, или на яблоках?..

Отличные слова. Я в корне с ними не согласен. Иными словами я не солгасен с тезисом Рассела:
Всякое математическое мышление, в принципе, может быть механически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, то есть как некое подобие шахматной игры.
Причина - мир математических абстракций богаче физических законов. Физический мир НЕ ОТРАЖАЕТ все математические закономерности.
Отразить на палочках, пальцах, чернилах и прочее - это формализовать, свести к игре символами.
Я готов обосновать тезис - человеческое мышление, его интуиция НЕ СВОДИМЫ к игре символов, то есть неформализуемы.

[int003]

Фишка в том, что мир математических истин:
1. Объективен, то есть независим от нашего сознания

Нет объективных математических истин. Истинность математического утверждения зависит от того, какое в него вложено значение.

2. Физический мир отражает лишь малую часть всего математического мира (см. рис)

На рисунке - та да. Что за "отражение" Вы имеете в виду?

Иными словами я не солгасен с тезисом Рассела:
Всякое математическое мышление, в принципе, может быть механически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, то есть как некое подобие шахматной игры.
...
Я готов обосновать тезис - человеческое мышление, его интуиция НЕ СВОДИМЫ к игре символов, то есть неформализуемы.

Обратите внимание: Рассел говорит "математическое", Вы говорите - "человеческое". Не задумывался. Не совсем понимаю, как это высказывание Рассела связано со сказанным мной: Через физические аналогии. "Понять математическую истину" - значит понять, что она означает. Вы же на палочках учились считать? Ну, или на яблоках?..

Причина - мир математических абстракций богаче физических законов.

Сколько физических законов в мире физических законов? Каким образом Вы определили отношение порядка "богаче"? Напомню, что разговор изначально шел о физическом мире, а не о мире физических законов.

Физический мир НЕ ОТРАЖАЕТ все математические закономерности.

Что Вы имеете в виду, говоря "математические закономерности"? (Например) Не уверен, что такие есть.

[войд]

Фишка в том, что мир математических истин: 1. Объективен, то есть независим от нашего сознания

ага, значит Вы -- платонист

Пример - теорема Банаха-Тарского (...) теорема доказывает существование такого разбиения, а не способ его конструирования.

неудачный пример. доказательство этой теоремы именно описывает процедуру трансформации, особенно в варианте Мисельского-Вэгона. но не суть. я хотел бы обратить внимание на главный вопрос -- что такое существоание? на самом деле, этим термином описываются совсем разные вещи.
1) физический Унивёрсум. это бесусловно существующее
2) физический объект -- его можно назвать условно существующим, так как это конструкт (типа волны в океане) с условными границами
3) возможное ("существует вероятность того, что")
4) ментальный образ
5) идеальный объект
6) бог
в зависимости от философских вкусов эти категории могут объединяться или дробиться. но важно осознать, что это разные "существования".

Я готов обосновать тезис - человеческое мышление, его интуиция НЕ СВОДИМЫ к игре символов, то есть неформализуемы.

если человеческое мышление неформализуемо, то обосновать Вы ничего не сможете.
кстати, Вы знакомы с критикой аргументов Лукаса-Пенроуза?

[Клёст]

Можно было бы нарисовать альтернативные триады - например, повернуть вращение триады (обратите стрелочки-прожектора в обратную сторону). В этом случае частью математического мира описывался бы ментальный мир, но трудно представить, чтобы кто-нибудь согласился с таким описанием.

А я бы рискнул-таки закрутить стрелочки в обратную сторону. Тогда получится следующее:
Мир математических абстраций изначален = структура мироздания находится в цифровом виде.
ЦАП
Физический мир (и мы как его часть) - аналоговое проявление мира цифровых абстракций.
АЦП
Наши описания физического мира = сведение его обратно к цифровым моделям.

Однако, в ходе ЦАП-АЦП невозможно достичь тождественности конечного сигнала исходному. Из этого следует, в частности, наша принципальная неспособность построить "действующую модель Вселенной в натуральную величину".