Твитнуть
.
Уравнение было получено при изучении оптической самофокусировки и расщепления оптических пучков. Это же уравнение применялось при исследовании волн на глубокой воде. Появилось обобщение НУШ для волновых процессов в плазме. Интересно применение НУШ в теории элементарных частиц.
Уравнение sin-Гордона (СГ)
,
описывающее, например, распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов, дислокации в кристаллах, процессы в жидком гелии, волны зарядовой плотности в проводниках.
Солитонные решения имеют и так называемые, родственные КдВ уравнения. К таким уравнениям относятся,
модифицированное уравнение КдВ
,
уравнение Бенджамина, Бона и Магони (ББМ)
,
впервые появившееся при описании боры (волны на поверхности воды, возникающей при открывании ворот шлюзов, при «запирании» течения реки);
уравнение Бенджамина Оно
,
полученное для волн внутри тонкого слоя неоднородной (стратифицированной) жидкости, расположенного внутри другой однородной жидкости. К уравнению Бенджамина Оно приводит и исследованиее трансзвукового пограничного слоя.
К уравнениям с солитонными решениями относится и уравнение Борна Инфельда
,
имеющее приложения в теории поля. Есть и другие уравнения с солитонными решениями.
Солитон, описываемый уравнением КдВ, однозначно характеризуется двумя параметрами: скоростью и положением максимума в фиксированный момент времени.
Солитон, описываемый уравнением Хироты
,
однозначно характеризуется четырьмя параметрами.
Начиная с 1960, на развитие теории солитонов повлиял ряд физических задач. Была предложена теория самоиндуцированной прозрачности и приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.
В 1967 Крускалом и соавторами был найден метод получения точного решения уравнения КдВ метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдВ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится.
Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом было решено НУШ.
Приложения солитонной теории в настоящее время находят применение при исследованиях линий передачи сигналов с нелинейными элементами (диоды, катушки сопротивления), пограничного слоя, атмосфер планет (Большое красное пятно Юпитера [16]), волн цунами, волновых процессов в плазме, в теории поля, физике твердого тела, теплофизике экстремальных состояний веществ, при изучении новых материалов (например, джозефсоновских контактов, состоящих из разделенных диэлектриком двух слоев сверхпроводящего металла), при создании моделей решеток кристаллов, в оптике, биологии и многих других. Высказано мнение, что бегущие по нервам импульсы солитоны.
В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые комбинаций из них, например:
антисолитон солитон отрицательной амплитуды;
бризер (дублет) пара солитон антисолитон (рис. 2);
мультисолитон несколько солитонов, движущихся как единое целое;
флюксон квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных джозефсоновских контактах;
кинк (монополь), от английского kink перегиб.
Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдВ, НУШ, СГ, описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 3). Изменение знака решения типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».
Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом и Скирмом при численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.
Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и О.Ю.Цвелодубом). Двумерные солитонные решения имеет уравнение Кадомцева Петвиашвили, используемое, например, для описания акустических (звуковых) волн:
.
НЕОДНОМЕРНЫЙ СОЛИТОН
Среди известных решений этого уравнения нерасплывающиеся вихри или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси). Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной особенности атмосферы Юпитера Большому Красному Пятну.
Солитоны являются существенно нелинейными образованиями и столь же фундаментальны, как линейные (слабые) волны (например, звук). Создание линейной теории, в значительной мере, трудами классиков Бернхарда Римана (18261866), Огюстена Коши (17891857), Жана Жозефа Фурье (17681830) позволило решить важные задачи, стоявшие перед естествознанием того времени. С помощью солитонов удается выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем.
Андрей Богданов
Литература Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.// Phil. Mag., 1895, v. 39
Солитоны. Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. М., «Мир», 1983
Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., «Мир», 1989
Комментарий