После появления Христианства отменил ли Бог институт пророков?

Нет, не отменял. Потому и при Апостолах были ещё пророки:

"И Он поставил одних Апостолами, других пророками, иных Евангелистами, иных пастырями и учителями" (Еф 4:11).

"Если кто почитает себя пророком или духовным, тот да разумеет, что я пишу вам, ибо это заповеди Господни." (1Кор 14:37).

"И иных Бог поставил в Церкви, во-первых, Апостолами, во-вторых, пророками, в-третьих, учителями; далее, иным дал силы чудодейственные, также дары исцелений, вспоможения, управления, разные языки. Все ли Апостолы? Все ли пророки? Все ли учители? Все ли чудотворцы?" (1Кор 12:28-29).

"Иуда и Сила, будучи также пророками, обильным словом преподали наставление братиям и утвердили их." (Деян 15:32)

"Между тем как мы пребывали у них многие дни, пришел из Иудеи некто пророк, именем Агав, и, войдя к нам, взял пояс Павлов и, связав себе руки и ноги, сказал: так говорит Дух Святый: мужа, чей этот пояс, так свяжут в Иерусалиме Иудеи и предадут в руки язычников." (Деян 21:10-11).

Потому все, учащие, что после Иоанна Крестителя пророков больше нет и не будет, заблуждается и учат неправда. Института пророков Бог не отменял.

О чем же говорил Иисус, сказав: "Закон и пророки до Иоанна; с сего времени Царствие Божие благовествуется, и всякий усилием входит в него." (Лук 16:16)?

Христос говорил о ветхозаветник пророках, которые предвещали пришествие Христа, а Иоанн, как последний из ветхозаветних пророков засвидетельствовал, что пророчество исполнилось на Иисусе. После Пятидесятницы новозаветние пророки уже возвещают об исполненных пророчествах во Христе, и помогают подходить ко Христу. Чтобы укрепить немощных в вере, Господь может изрекать будущие события, как личного характера, так и касаемого многих, через Своих рабов. Вот как пророк Агав предвозвестил для всех, что Павла арестуют. Вот подобного рода пророчества могут быть и сегодня. Причём, Божьи люди могут не только будущее предвеащать, но и проявлять прозорливость, рассказывая человеку о том, о чем никто из людей даже знать не может. Такие проявления у Божьих людей укрепляют доверие к ним у немощных в вере, что они подлинно рабы Божьи. Но суть того доверия не в том, чтобы делать потом культ тех людей Божьих, а чтобы люди поверили тому Евангелию, которое они возвещают. Т.е., суть не в чудном, а в следовании Евангелию. Чудеса и знамения предназначены именно для этого - поверить словам рабов Божьих следовать тому Евангелию, которое толкуют они. Потому что много есть лжеучителей, превратно толкующих Евангелие. А в устах рабов Божьих, о которых свидетельствует Дух Святой, что они подлинно рабы Божьи, и толкование ими Евангелия имеет вес и силу.
Но и без пророков чистые сердцем могут понимать Евангелие правильно. Но это не отменяет наличие пророков в Церкви.